Бертран Рассел (стр. 42 )

217

Значимость предложений

«Некоторые являются людьми» или, как это может быть перефразировано, «"х — человек" — всегда истинно» и «"х — человек" — иногда истинно». Переменной «х» позволяется принимать все те значения, при которых предложение «х — человек» будет значимым, т. е., в данном случае, все значения на собственных именах.

Когда мы обобщаем отношение R (скажем, бинарное отношение) процесс является тем же самым, разве что подставленная на место отношения переменная «S» принимает значения, ограниченные бинарными отношениями, чтобы сохранить условие значимости. Рассмотрим, например, мнение, что у людей все должно быть общим. Если я согласен с данным наставлением, это означает, что если х — произвольный человек, a R — произвольное бинарное отношение, то я имею отношение 1? к х. Другими словами, каждое предложение формы: «Если х — человек, мы имеем отношение R к х» является истинным. Или рассмотрим высказывание «Никакие два человека не являются такими, что между ними нет никакого отношения». Это значит, что если х и у — люди, то некоторое предложение формы «х находится в отношении R к у» — истинно. Это означает, что каждое предложение формы «если х и у — люди, некоторое предложение формы «"х находится в отношении R к у" — является истинным» — является истинным.

Можно заметить, что отношения, которые упоминаются в вышеприведенных обстоятельствах, будь то константы или переменные, являются интенсиональными, а не экстенсиональными отношениями.

Предложения, в которых используется обобщение предикатов, часто встречаются в обычной речи. Примером являются предложения: «Наполеон обладал всеми качествами великого полководца» и «Елизавета имела добродетели ее отца и деда, но не имела их пороков». (Я не соблюдаю исторической точности в наших иллюстрациях.)

По причинам, которые проявятся в главе XIX, назову атомистической иерархией предложений семейство предложений, полученных из атомарных суждений восприятия с помощью трех операций: подстановки, соединения и обобщения.

218

il

Значимость предложений

Важный вопрос — может ли данная иерархия конституировать «адекватный» язык, т. е. такой, в который было бы переводимо любое высказывание любого языка. Этот вопрос состоит из двух частей: первая — можем ли мы удовлетвориться атомарными предложениями как базисом языковой структуры? вторая — можем ли мы удовлетвориться именами, предикатами, бинарными отношениями и т. д. как единственными нашими переменными или же нам понадобятся переменные других видов? Первый из этих вопросов будет обсуждаться в главах XIX и XXIV. Второй, связанный с обобщением и нужный при решении парадоксов, необходимо обсудить сейчас.

Обобщение порождает намного больше трудных проблем, чем подстановка и соединение. Главный вопрос, который должен быть обсужден в этой главе, таков: достаточно ли для математической логики обобщения, определенного так, как это сделано выше? Или же мы нуждаемся в переменных тех видов, которые неопределимы приведенными выше способами?

Прежде всего заметим, что если «каждое предложение формы /(х) является истинным» или «некоторое такое предложение является истинным», должно иметь какую-либо определенную значимость, то область значений «х» должна быть вполне определенной. Если мы имеем какую-либо внешнюю область значений, таких как люди или натуральные числа, это следует оговорить. Так, «Все люди — смертны» не может быть проинтерпретировано как «Все предложения формы «"х — смертен" являются истинными, где возможная область значений х — люди», поскольку данное выражение невыводимо из одной только функции «х — смертен»1. Единственный путь, которым «все предложения формы "/(х)" — истинны» может быть выведено из этой функции, это позволить х принимать все значения, при которых «/(х)» является значимой. Настолько, насколько мы ограничиваем себя именами и отношениями в качестве переменных, правило подстановки обеспечивает то, что нужно в этом случае.

1 В главе XVIII мы разработаем теорию общих мнений, которая могла бы показаться противоречащей тому, что сказано выше. Но противоречие только кажущееся, поскольку здесь, в отличие от главы XVIII, наши проблемы являются исключительно синтаксическими.

219

Значимость предложений

Однако мы нуждаемся с самого начала для математической логики в ином сорте переменных, а именно в переменных суждениях. Мы хотели бы иметь возможность сформулировать закон непротиворечия и закон исключенного третьего, т. е. сказать, что «ни одно суждение не может быть одновременно истинным и ложным» и «каждое суждение либо истинно, либо ложно». Это значит сказать, что «каждое предложение формы "ложно, что p одновременно истинно и ложно" — истинно» и «каждое предложение формы "р — либо истинно, либо ложно" — истинно». В этих случаях условия значимости требуют, чтобы «р» было предложением (или суждением), но, prima facie, не содержит каких-то других ограничений на «р». Беспокойство вызывает то, что мы, кажется, имеем заданные предложения, которые указывают на все предложения, и, значит, также на самих себя.

В более общем виде, если f(р) — пропозициональная функция от пропозициональной переменной р, тогда выражение «каждое суждение формы f(p) — истинно», если оно допускается, также является суждением. В таком случае является ли оно возможным значением переменной p в «f(р)»? Если да, тогда в целую совокупность значений переменной р включаются значения, определенные в терминах этой совокупности. Из этого следует, что любое собрание суждений, рассматриваемое в качестве целой совокупности значений р, следует признать неправильным, поскольку существует другое значение р, определенное в терминах данной совокупности, а оно изменяется вместе с изменением совокупности. Ситуация аналогична той, с которой столкнулся Журденовский китайский император в истории с набором ящиков1. Этот император попытался разместить все наборы ящиков в одной комнате. Наконец он, как полагал, достиг желаемого. Однако его премьер-министр обратил внимание на то, что сама комната образует новый набор ящиков. И хотя император отрубил премьеру голову, он уже никогда больше не улыбался.

Таким образом, переменные суждения создают трудности, которые приходят в голову в связи с парадоксом лжеца1. Я предпола-

1 Имеется в виду пьеса Мольера «Мещанин во дворянстве». — Прим. перев. 220

Значимость предложений

таю, что переменные суждения только тогда законны, когда они являются сокращением именных переменных и переменных отношений. Пусть «р» — переменная, которая может стоять на месте любого предложения, построенного с помощью трех наших правил подстановки, соединения и обобщения. Тогда мы можем сказать, что «каждое предложение формы f(р) истинно» — это не одно новое предложение, а конъюнкция бесконечного числа предложений, переменные которых не являются предложениями.

С этой целью переходим к дальнейшим пояснениям. Прежде всего интерпретируем высказывание, что если «р» — атомарное предложение, тогда «f(р)» — истинно. В другой, эквивалентной формулировке: какие бы возможные значения ни принимали R^ и x1,f{R1 (х1)}является для этих значений истинной; какие бы возможные значения ни принимали R2, хг и x?,f{R2 (хг, х2)} является для этих значений истинной, и т. д. Здесь единственными переменными являются переменные х-ов и Я-ов.

А теперь переходим к случаю, когда «р» — молекулярное предложение. Будем утверждать, что для всех возможных значений х-

OB, y-OB, R и S

f{5(x1,x2...xm)|S(y1,y2...yn)}

является истинным; и мы перейдем к похожим утверждениям, когда аргумент для f содержит необязательно один штрих, но любое конечное их число. Таким образом, мы проинтерпретировали утверждение, что «f(р)» — истинно, когда «р» — произвольное молекулярное суждение.

Наконец, мы позволяем «р» быть любым предложением, полученным из любого ранее указанного значения «р» путем обобщения.

Итак, мы получили интерпретацию выражения «"f(р)" — всегда истинно, когда р — предложение из атомистической иерархии». Указанная интерпретация, однако, применима не к одному предложению, а ко многим. Если «f(р)» таково, что когда «р» принадлежит к атомистической иерархии, к ней принадлежит и «f(р)»/ тогда все это множество предложений принадлежит к этой же ато-

1 См. начало гл. IV.

221

Значимость предложений

мистической иерархии, так что ни одно предложение другого сорта не может быть обобщено.

Будем истолковывать «некоторое предложение формы "f(р)" — истинно» в точности в той же манере, истолковывая его как бесконечную дизъюнкцию, содержащую те же термины, что и рассмотренная выше бесконечная конъюнкция.

Конечно, технически все еще возможно использование переменной «р». Единственное назначение проведенного выше анализа, — предостеречь нас от того, чтобы выражение «f(р) — всегда истинно» считать возможным значением «р» в «f(р)». Другими словами, «f(р) — всегда истинно» не позволяет нам вывести «f {f(р) — всегда истинно}». Это обстоятельство является важным, поскольку в том случае, когда утверждения, указывающие на целую совокупность возможных значений для «р» (или же для любой другой переменной), должны иметь какую-либо определенную значимость, сами эти утверждения не должны встречаться среди значений переменной «р».

Далее мы намерены рассмотреть переменные функции. Давайте обозначим как «цб» переменное суждение из атомистической иерархии, в которое входит имя «а», и пусть «f(р)» будет некоторой определенной функцией от суждений, принадлежащей к фундаментальной иерархии. Тогда мы можем образовать функцию

f(цб),

в которой переменной является ц, и можем рассматривать выражение «f(цб) — истинно для каждого ц» и «f(цб) — истинно для некоторого ц».

Данную форму могут иметь весьма общие предложения; например, «Наполеон III обладал всеми пороками своего дяди и ни одной из его добродетелей» или что сказал пьяный увещевавшему его прохожему: «Должны существовать некоторые из всех видов людей, и я как раз того вида».

Точно такой же сорт трудности возникает в связи с выражением «f(р) — истинно для каждого р». Может показаться, что i «f(цб) — истинно для каждого ц» само является функцией от а, и!