Бертран Рассел (стр. 55 )

Давайте рассмотрим случай, когда мы более уверены в истинности нашего общего суждения, скажем, «Все дронты1 — смертны». Можно сказать, что мы знаем это, поскольку все дронты уже мертвы. Можно, конечно, возразить, что возможно дронты остались на других планетах или же что эволюция, однажды произведя дронтов, может произвести их снова, подобно птице-фениксу. Поэтому мы внесем поправку в наше общее суждение и скажем только следующее: «Все дронты, жившие на поверхности земного шара до 1940 года, были смертными». Последняя фраза выглядит неподлежащей сомнению.

Суждение, к которому мы сейчас пришли, строго аналогично суждению «В кладовой отсутствует сыр», которое мы рассматривали ранее. Для доказательства обсуждаемого суждения требуется обзор земной поверхности, ведущий к множеству отрицательных суждений в форме «это — не живущий дронт», применимых к

1 Вымерший вид птиц. — Прим. перев. 288

Общие мнения

каждому достаточно большому земельному участку (рассматриваемому достаточно долго), чтобы иметь шанс обнаружить на нем дронта. Эти отрицательные суждения, как мы видели, зависят от отрицательных суждений, таких как «Это — не синее». Такая общность является строго перечислимой и оказывается возможной благодаря тому факту, что наш определенный предикат содержит пространственно-временную определенность. Особенность подобных предикатов заключается в том, что при благоприятных обстоятельствах можно эмпирически показать их объемную эквивалентность списку имен. Но то, что это возможно, само является эмпирическим фактом, связанным со свойствами пространства-времени, которые рассматривались в связи с собственными именами.

В соответствии с вышесказанным, то, что «указывается» общим суждением формы «все Л-тые являются В-тыми», представляет собой собрание событий, по одному для каждого А. Это собрание является «верификатором» общего высказывания: когда происходит каждый член собрания, высказывание истинно; когда хотя бы один элемент не происходит, высказывание ложно.

А сейчас мы переходим к вопросу, как мы можем знать, если только можем, общие эмпирические суждения. Мы видели, что некоторые из них могли быть известны посредством переписи; это происходит тогда, когда рассматриваемые объекты ограничены определением пространственно-временной области, которая находится в нашей окрестности, и ни один из объектов не принадлежит будущему. Но это исключительный случай, и вполне вероятно, что когда наше знание пространства-времени проанализировано адекватно, можно установить, что он [случай] не представляет подлинного исключения. Определенно, во всех остальных случаях нам невозможно знать, что мы составили полную перепись, и поэтому наше знание общего суждения, если существует, должно быть получено другими методами.

Я думаю, что если нам позволительно знать какие-либо эмпирические обобщения за исключением тех, которые выведены из переписи, слово «знать» в таком случае будет использоваться более либерально, чем до сих пор. Мы могли бы сказать, что «знаем»

289

Общие мнения

суждение, если оно фактически истинно, и мы полагаем его на основе наиболее убедительного свидетельства. Но если свидетельство не носит решающего характера, мы никогда не узнаем, является ли суждение фактически истинным, и поэтому никогда не узнаем, знаем ли мы это. Есть надежда, что индуктивное свидетельство может сделать вероятным эмпирическое обобщение. Однако так мы выходим на проблематику, лежащую за пределами данной работы, и поэтому я не буду больше говорить об этом.

&

с

290

ГЛАВА XIX

ЭКСТЕНСИОНАЛЬНОСТЬ И АТОМИСТИЧНОСТЬ

А1ллиз таких суждений, как «Л полагает, чтор», «А сомневается что, р» и т. д., поднимает две проблемы большой логической важности. В целом в предыдущих главах я хранил молчание по поводу логических проблем, но в связи с нынешней темой дальше так поступать нельзя. Поэтому, прежде чем мы сможем вернуться к нашей главной теме, необходимо сделать краткую экскурсию в логику.

Экстенсиональность и атомистичность — две логические проблемы, возникающие в связи с пропозициональными установками. Первая из них много обсуждалась современными логиками, в то время как вторая почти полностью игнорировалась.

Прежде чем сформулировать «тезис экстенсиональности», как он был назван Карнапом, необходимо кое-что сказать о теории функций истинности и теории классов1. Теория функций истинности представляет наиболее элементарную часть математической

1 В том, что следует дальше, я повторяю в упрощенной форме некоторые вещи, уже сказанные в гл. XIII, раздел С.

291

Экстенсиональность и атомистичность

логики, она касается всего того, что может быть сказано о суждениях с помощью «или» и «нет». Так, высказывание «р и q» является отрицанием высказывания «не-р или не-g». Наиболее общее отношение между p и q, которое позволяет нам при данном p вывести g, это отношение «не-р или g». Или предположим, что вы желаете установить наиболее общее отношение, которое, при данных p и g, позволило бы вам вывести г. Таким отношением будет «не-р или не-з или г». Закон исключенного третьего формулируется как «р или не-р»; закон непротиворечия — как отрицание высказывания «р и не-р». Если два суждения эквивалентны, говорят, что они имеют одно и то же «истинностное значение».

Вместо того чтобы начинать с «не-р» и «р или g», мы можем начать с единственной неопределенной функции «р и g не являются оба истинными». Мы обозначаем данную функцию как «p|q» и называем ее штрих-функцией. Очевидно, что «р|р» эквивалентно «не-р», поскольку еслир ир не являются оба истинными, значит р — не истинно, и наоборот. Далее: «р или g» эквивалентно «не-р и не-g не являются оба истинными», т. е. эквивалентно «р|р и д|д не являются оба истинными», т. е. «(р|р)|(д|д)»· Таким образом, «или» и «нет» могут быть определены в терминах штрих-функции.

Очевидно и легко доказуемо, что для любого суждения, построенного из других суждений с помощью штриха, его истинностное значение зависит только от истинностных значений конституент. Это следует из того факта, что «р и с не являются оба истинными» является истинным, если р — ложно, а также если g — ложно, и является ложным, если оба р и g — истинны; что представляют собой суждения р и g — не имеет значения, коль скоро их истинностные значения остаются неизменными. Функции, для которых сказанное имеет место, называются «функциями истинности». Все функции, необходимые для теории дедукции, являются функциями истинности.

Первая часть принципа экстенсиональности, истинность или ложность которого мы исследуем, говорит, что все функции суждений являются функциями истинности, т. е. что если дано лю-

292

Экстенсиональность и атомистичность

бое суждение, частью которого является суждение р, его истинностное значение не изменится, если мы подставим на место p любое другое суждение q, имеющее то же истинностное значение, что и р.

Мы переходим теперь к «пропозициональным функциям». «Пропозициональной функцией» является выражение, содержащее одну или более из неопределенных конституент х, у,., такое, что если мы установим, чем они должны быть, то в результате получим суждение. Так, «х — человек» является пропозициональной функцией, поскольку если мы определимся со значением х, то в результате получим суждение — истинное, если определим, что х должен быть Сократом или Платоном, ложное, если х должен быть Цербером или Пегасом. Значения, для которых суждение будет истинным, образуют класс людей. Каждая пропозициональная функция определяет класс, а именно класс значений переменной, для которых она истинна.

Говорят, что две пропозициональные функции «формально эквивалентны», если для каждого возможного значения переменной полученные суждения будут эквивалентны. Так «х — человек» и «х — двуногое без перьев» формально эквивалентны; таковы же функции «х — четное простое число» и «х — кубический корень из 8». Когда две пропозициональные функции формально эквивалентны, они определяют один и тот же класс.

Предикаты можно отождествить с пропозициональными функциями одной переменной, бинарные отношения с функциями двух переменных, тернарные отношения с функциями трех переменных и так далее. Когда мы говорим «люди смертны», это означает «если х — человек, х — смертен для всех возможных значений х». Очевидно, что если люди смертны, то смертны и двуногие без перьев. Также очевидно, что если существует р людей, то существует р двуногих без перьев. Эти суждения иллюстрируют тот факт, что если две пропозициональные функции являются формально эквивалентными, огромное число высказываний, истинных для одной, будут также истинными для другой. Вторая часть принципа экстенсиональности гласит, что это всегда име-

293

Экстенсиональность и атомистичность

ет место, т. е. в любом высказывании о пропозициональной функции можно осуществить подстановку произвольной формально эквивалентной функции без изменения истинностного значения высказывания.

Карнап формулирует «тезис экстенсиональности» в несколько ослабленной форме, который, слегка упростив, можно сфор - | мулировать следующим образом: можно построить язык, на кото - | рый может быть переведено любое высказывание любого языка, | причем построенный язык обладает следующими двумя характе - | ристиками: (1) если суждение p входит как часть в более слож - | ное суждение g, истинностное значение q не изменится при подстановке вместо p любого суждения, имеющего то же истинностное значение; (2) если пропозициональная функция входит в суждение, истинностное значение последнего остается неизменным при подстановке произвольной формально эквивалентной пропозициональной функции (т. е. истинной для тех же значений переменной).

Новшество Карнапа призвано сформулировать принцип не как! такой, который должен быть истинным в любом языке, а как такой, который является истинным в определенном возможном языке, на который могут быть переведены все высказывания других языков.

Первое из двух свойств, утверждаемых данным принципом, ведет, например, к тому, что любое истинное высказывание, частью которого является суждение «Сократ — смертен», останется истинным, если мы подставим суждение «Англси1 является островом», и любое истинное суждение, частью которого является суж-дение «Гомер был ирландцем» (например, «если Гомер был ирландцем, то я съем свою шляпу), останется истинным, если мы подставим на его место «Брайен Бору2 был греком». Из второго свойства следует, что везде, куда входят слова «человеческие существа», можно подставить «двуногие без перьев» и при этом истинность или ложность высказанного не изменится — разумеет-