Консалтология Общая теория консалтинга (стр. 100 )

Если на X задана некоторая сеть, на элементах которой функция fA(x) принимает значения fi, i = 1, ..., N и ε — диаметр X, то

F =(Gq)-1 ,

где

Пусть, помимо ε, известно значение параметра εс для εс-сети, на которой вычислены значения МB, тB. Тогда

10.2.6. Алгоритмы выбора формируемых рекомендаций при неопределенности внешних условий и задач функционирования консультируемой проблемы

10.2.6.1 Алгоритм точечной аппроксимации

Формирование рекомендаций при неопределенности внешних условий и задач функционирования консультируемой проблемы в математическом плане состоит в оптимизации стратегий многоцелевой системы (см. п. 10.2.4.1). Для решения этой задачи пред­ложены аналитические и численные алгоритмы. В развитие этих решений рассмотрим ряд более эффективных алгоритмов.

Для решения задачи оптимизации стратегий интегральных МСК разработан класс «алгоритмов дискретизации», основанных на построении последовательности стратегий, сходящихся к искомой оптимальной, в соответствии со все более полным представлением множества конечным числом точек.

Будем рассматривать функции эффективности в виде f(х, у, μ.) и считать их непрерывными и дифференцируемыми.

Введем конечное множество ZN элементов внешнего множест­ва X:

ZN={хi}X, i = 1,...,N.

По определенному правилу будем добавлять к нему элементы X, строя последовательность множеств ZN+1, ZN+2 и т. д.

Обозначим через ξiN совокупность точек X, которая находится к элементу xi XN ближе, по метрике X, чем к остальным эле­ментам ZN.

Очевидно, что множества ξiN не пересекаются, а их объединение равно X. Меры множеств ξiN обозначим через ∆xi. Правило по­строения множества ZN состоит в том, что с возрастанием N макси­мальная величина ∆xi убывает пропорционально 1/N, а максимальный из диаметров di множеств ξiN — пропорционально . Этого можно добиться, например, добавляя случайным об­разом новые элементы множества ZN, при равномерной на X плот­ности вероятности выбора новых элементов. Таким образом, к

∆xi ≤ к1 /N; max di ≤ к2. (10.169)

Рассмотрим следующую сумму:

S N= , (10.170)

где

∆xi = .

Можно показать, что для непрерывных функций эффективности, удовлетворяющих условию Липшица:

SN = F(X, A, E(x)). (10.171)

Действительно:

где θi — некоторые средние точки множеств ξjN.

Ввиду выполнения условий Липшица

Тогда

Учитывая выражение (10.169), запишем

Теперь видно, что для любого

ε > 0 при N > (к1к2ε)n ∆ < ε,

т. е. равенство (10.171) выполняется.

Заменим решение задачи оптимизации параметров исходной МСК с внешним множеством X оптимизацией последовательностей МСК с конечными внешними множествами ZN и критериями опти­мальности (10.170).

Рассмотрим две МСК с внешними множествами ZN и ZN+1, отли­чающиеся наличием в последней из них дополнительного элемента xN+1.

Обозначим через А* = {y*j}j=1,...,т, Е* (х) решение задачи

оптимизации параметров для МСК с внешним множеством ZN.

При этом выражение (10.170) примет вид:

S N= .

Пусть А = {yj}j=1,...,т — решение задачи оптимизации

параметров МСК с внешним множеством ZN+1 при заданной рас­пределяющей функции:

Для этого решения, используя выражение (10.170), можно запи­сать

Ввиду оптимальности A* и A и открытости Y

(10.172)

(10.173)

s= 1, ...,р, j= 1, .. .,т

или, перегруппировывая слагаемые в выражениях (10.172), (10.173) в соответствии с распределением точек xi, i = 1,.....,N + 1 по областям Дирихле, получим

(10.174)

(10.175)

(10.176)

Очевидно, что при N →∞

||yj – y*j || → 0, j=1,.....,m.

поэтому

yj = y*j +∆ yj , ||∆ yj ||→>0. (10.177)

Используя дифференцируемость функции эффективности, из формул (10.174)— (10.176) найдем условия, определяющие ∆yj с точ­ностью до бесконечно малых высшего порядка малости:

(10.178)

(10.179)

Услови (10.178), (10.179) дают необходимое число уравнений для определения компонент ∆yrj , перемещений элементов ряда А. При этом система разбивается на т независимых подсистем, каж­дая из которых задает вектор перемещения соответствующих эле­ментов yj.

Из уравнений (10.178) видно, что при j≠к величина перемеще­ния будет бесконечно малой высшего порядка малости относи­тельности

∆ y к.

Действительно, ∆yr, определяемые из уравнений (10.178), имеют тот же порядок малости, что и изменения ∆xi, так как при μj =μ*j и

∆xi=∆х*i имеют лишь тривиальное нулевое решение [поскольку свободный член обращается в нуль, в силу условий (10.174)]. Система (10.179) при μк=μк* и ∆xi=∆х*i имеет ненулевое решение ввиду наличия свободного члена df(xn+1, y*к, μк*)∆xk/dys. По той же причине первое слагаемое в уравнении (10.178) является бесконечно малой высшего порядка малости относительно второго слагаемого.

Итак, с точностью до бесконечно малых высшего порядка можно считать, что

уj= у*j , j=1,…,m, j≠k;

y к= y* к+∆ y к,

где ∆ y к — решение системы уравнений;

Последовательность действий в рассматриваемом алгоритме следующая. Начальная система центров {y0j} задается произволь­ной, точку хп+1 выбираем следующим образом. Используя датчик случайных чисел, получим п равномерно распределенных случай­ных чисел ξ1, ξ2, ..., ξn. Далее примем

хiп+1=ai+ ξi(bi-ai), i=1.....п.

Распределяющую функцию Е(х) и связанную с этим целочис­ленную функцию j(i) вычислим путем сравнения значений функции ρ(xi, yi) для различных центров уi и выбора номера центра, соответствующего наименьшему значению функции. Аналогичнo определим меры областей Дирихле точек х1 ..., хn+1.

Произведем перебор равномерно распределенной в X системы точек и подсчитаем число попадающих в область Дирихле различ­ных точек xi. Приращения координат элементов ∆ysi, s=1, ..., р; i=1, ..., т вычислим путем решения соответствующих систем линейных уравнений.

Целесообразно предусмотреть два условия окончания счета: по значению оптимизируемой функции и по приращению координат центров:

|fn+1—fn|≤εf, ||уj — у′j)|| |≤εу.

Поскольку сложность реализации алгоритма на ЭВМ практи­чески не возрастает с увеличением размерности множеств X и Y (увеличивается лишь время счета), соответствующие программы достаточно просто разрабатываются на случай больших размер­ностей.