Консалтология Общая теория консалтинга (стр. 34 )

Пусть на k-й итерации интервал изменения переменной х сократился до [аk, bk], а≤ аk ≤ bk ≤b. Тогда для вычисле­ния следующего интервала [аk+1, bk+1] выбирают точки х k и x'k (рис. 9.5) по формулам

где Фk — числа Фибоначчи, определяемые с помощью ре­куррентных соотношений

Рис. 9.5. Расположение интер­валов поиска экстремума мето­дом чисел Фибоначчи

Если F(xk) <F(x'k), то в качестве следующего интер­вала выбирают

[ak+1, bk+1]=[ak, x'k), если F(xk)>F(x'k), то выбирают [ak+1, b k+1] = [xk, bk], если F(xk) =F(x'k), то может быть выбран любой из интервалов.

Последние точки задаются формулами

где ε — произвольно малое число, вводимое на последней итерации. Следует отметить, что длина последнего интер­вала неопределенности определяется как

(9.44)

Выражение (9.44) позволяет определить количество вы­числений критерия оптимальности исходя из требуемой точности поиска.

В методе золотого сечения сохраняется постоянным отношение длин двух последовательных интервалов неопре­деленности:

τ = Lk/ Lk+1 = 1,61803...

По результатам двух экспериментов устанавливают, ка­кую область неопределенности оставить для дальнейших исследований. Процесс поиска оптимума можно продолжать сколь угодно долго. После N испытаний длина интервала неопределенности составляет LN=l/τ N-1.

Отметим, что метод золотого сечения требует сравни­тельно небольшого объема памяти ЭВМ и прост в реализа­ции.

Метод полиномиальной аппроксимации заключается в определении полинома, аппроксимирующего функцию F(X) (чаще всего — квадратичного полинома), и поиске его минимума.

В конкретных задачах оптимального консультирования довольно часто зависимость критерия оптимальности F от параметров консультирования X получается слишком слож­ной. В этих случаях вместо вышеизложенных регулярных методов оптимизации рекомендуется использовать методы случайного по­иска. В этих методах направление поиска Рk, выбирают случайно, например, равновероятно в пределах гиперсферы с центром в точке Хk-1. Существует огромное число алго­ритмов случайного поиска. Следует отметить, что регуляр­ные алгоритмы поиска являются частным (а точнее, вы­рожденным) случаем стохастических алгоритмов.

Методы условной оптимизации. Задачи условной опти­мизации, заключающиеся в минимизации некоторого кри­терия оптимальности с ограничениями на область сущест­вования переменных консультирования, относятся к классу задач математического программирования.

Одним из наиболее простых и широко известных мето­дов решения задачи математического программирования является метод штрафных функций. Основная идея метода состоит в приближенном сведении задачи ми­нимизации функции F(X) при ограничениях Qi(X)≤0, i==l, 2,…, n, к задаче минимизации функции

Ф(X,t) = F(X) + tR(X) (9.45)

без ограничений. При этом вспомогательную функцию Ф(Х, t) подбирают так, чтобы она совпадала с функцией F(X) внутри допустимой области S и быстро возрастала вне ее.

В выражении (9.45) R(X) — дифференцируемая функ­ция штрафа, удовлетворяет следующим условиям: R(X) =0, если XS, и R(Х)>0, если хотя бы для одного k бу­дет Qk,(X)>0, (k =1,2,…, n), t — некоторое положительное число — коэффициент штрафа.

Примерами функций R(X) могут служить выражения

или

Рис. 9.6 иллюстрируется метод штрафных функций в одномерном случае.

Рис. 9.6. Метод штрафных функций

Допустимая область S определяется ограничением R(Х)≥0, в этой области F(X) и Ф(Х, t) совпа­дают. В области, где R(Х)<0, функция Ф(Х, t) резко возрас­тает. На рисунке X1 и X* — точки безусловного и условно­го минимумов.

В задачах условной опти­мизации, в которых ограниче­ния заданы только в виде не­равенств, возможно построе­ние обобщенного критерия оп­тимальности с помощью барь­ерных функций. Значения, принимаемые барьерной функцией, неограниченно возрастают при приближении к гра­нице допустимой области.

Примером барьерной функции является

Эта функция существует только внутри допустимой области S. Вне области S и на ее границе функция R(X) не определена, а при приближении к границе области S она неограниченно возрастает.

Исходя из организации поиска условного оптимума иногда метод штрафных функций называют методом внеш­ней точки, а метод барьерных функции — методом внут­ренней точки.

Таким образом, задачу нелинейного программирования удается свести к задаче или последовательности задач без­условной минимизации.

9.5. Задачи формирования рекомендаций по оптимизации допусков и консультационных требований

Качество формируемых рекомендаций по решению задач консультируемой проблемы в значительной мере определяется характером постановки консультационной задачи параметриче­ского синтеза, реализуемой при консультировании, т. е. тем, насколько сформулированные целевая функция и ограни­чения отражают объективно существующие требования к свойствам КП. При формализации КЗ такие требова­ния выражаются в виде условий функционирования КП. Усло­вие функционирования КП— это требуемое соотношение между выходным параметром уj, значения которого зави­сят от принимаемых сформированных рекомендаций, и предельно до­пустимым значением — нормой yj(0). Величину yj(0) будем называть также консультационным требованием на параметр yj. Условия функционирования КП могут иметь одну из сле­дующих форм:

(9.46а)

(9.46б)

(9.46в)

Формы (9.46б) и (9.46в) могут быть сведены к форме (9.46а), поэтому в дальнейшем будем считать, что все ус­ловия функционирования КП в КЗ имеют вид (9.46а).

Область в пространстве ХП управляемых параметров, в которой все условия функционирования КП, а заданные пря­мые ограничения на управляемые параметры xi вида

(9.46г)

удовлетворяются, будем называть областью функционирования КП Z0.

Задача формирования рекомендаций по оптимизации допусков функционирования КП сводится к определению размеров допусковой области Zд и ее расположения в про­странстве ХП. Цель оптимизации допусков — максимиза­ция размеров области Zд при выполнении ограничений на степень несовпадения областей Z0 и Zд.

Решение задачи оптимизации допусков выполняется в два этапа: на первом ищут какую-либо точку XэZ0, на­зываемую опорной; на втором определяют оптимальную допусковую область.

На первом этапе для определения опорной точки целе­сообразно использовать постановку задачи оптимизации параметров, известную под названием максиминной по­становки. Последняя приводит к получению опорной точки внутри области Z0 на достаточном удалении от границ, что удобно для реализации алгоритмов второго этапа.

При максиминной постановке вводится количественная оценка sj степени выполнения j-го условия функционирования КП. Каждая из оценок sj может носить детерминирован­ный или статистический характер. При детерминирован­ном подходе используют формулу

при статистическом — формулу

где Mj — оценка математического ожидания; δj — оценка рассеяния параметра уj.

В частности, величина δj может рассматриваться как некоторый весовой коэффициент, указание его физическо­го смысла упрощает правильное задание его численного значения без трудоемких статистических расчетов.