Консалтология Общая теория консалтинга (стр. 5 )

Если с погрешностью задана матрица уравнений (A+δA), то вызываемая погрешность при определении вектора переменных - оценивается в соответствии с выражением

(8.24)

При решении систем уравнений, характеризующихся большим разбросом собственных значений λi, могут возникать существенные вычислительные затруднения.

Пример 2. Рассмотрим характер вычислительных затруднений на простой системе линейных уравнений второго порядка

для которой

и степень обусловленности (A) =104.

Если вектор правой части изменить на величину δb= [0,0,001]t , т. е. вы­брать ||δb||/||b|| = 1,4 • 10-4, то в соответствии с выражением (8.23). можно оценить относительную погрешность

В реалистичности этой оценки можно убедиться, если решить непосред­ственно модифицированную систему уравнений

для которой точное решение х=[3, 2]t в отличие от точного решения исходной системы х0 = [1, 2]t .

Таким образом, в действительности δx = [2, —1]t, ||δx||/||x|| = 1. Определитель решаемой системы уравнений мал (10-3), но это не озна­чает, что степень обусловленности матрицы всегда плохая. Можно привести пример матрицы 10-го порядка, для которой

|λ1|=|λ2|=...=|λ9|=0,1 и λ10=1, а определитель равен ± 10-9, но соnd(A) = 10.

Консультанту, моделирующему консультируемую проблему на САК, следует учитывать изложенное выше и стремиться по воз­можности к снижению величины cond(А) то ли правильным выбо­ром модели из имеющихся вариантов, существенно отли­чающихся этой величиной, то ли использованием процедуры, ана­логичной методу диагональной модификации, то ли согласованным выбором параметров компонентов и округлением их величин.

При частотном анализе линейной консультируемой проблемы уравнение (8.11) с учетом операторных компонентных выражений преобразуется к виду

(ReA + jImA) (Rex + jImx) = Reb + jImb,

в результате чего решается система уравнений удвоенной размер­ности

(8.25)

При этом, если на входе консультируемой проблемы синусоидальный источник единичной амплитуды и нулевой фазы, то значения действительной и мнимой составляющих передаточной характеристики Т на ча­стоте ωk получаем как соответственно действительную и мнимую части реакции схемы xk:

откуда легко определяются значения амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристик консультируемой проблемы соответственно:

(8.26)

(8.27)

Таким образом, решив уравнения консультируемой проблемы (8.25) на частоте ω=ωk, определим значение на этой частоте всех интересующих консультанта передаточных функций от одного входа к произ­вольному числу выходов. Если необходимо найти передаточные функции от разных входов, то для каждого из входов необходимо повторить прямой и обратный ход решения уравнений консультируемой проблемы (8.26) с соответствующей правой частью.

Кусочно-линейные методы. Количество последовательных решений линейной системы уравнений (8.6), необходимое для решения нелинейной системы (8.2) или (8.3), можно снизить, если приме­нить кусочно-линейные методы и изменить характер используемой линеаризации компонентных уравнений (6.41).

В результате кусочно-линейной аппроксимации компонентных уравнений с сравнительно небольшим числом участков аппрокси­мации уравнения нелинейной модели консультируемой проблемы f(x) = у, где у — вектор задающих сил, преобразуются в совокупность линеаризо­ванных алгебраических уравнений вида

(8.28)

где l — число выпуклых областей разбиения пространства пере­менных модели консультируемой проблемы, границы которых в виде гиперплоскостей определяются точками излома аппроксимированных характеристик отдельных нелинейных компонентов.

Вследствие непрерывности оператора преобразования непре­рывного пространства в линейно-секционированное предполагается, что матрицы J(m) и J(m-1) отличаются только одним элементом, по­этому

(8.29)

где — вектор, нормальный к границе областей.

Применяя соотношение (8.29), используют метод припасовывания для решения линейных систем уравнений двух смежных обла­стей, в соответствии с которым треугольные матрицы L(m) и U(m), определяемые матрицей J(m) = L(m)U(m), находят непосред­ственно по известным матрицам L(m-1) и U(m-1), соответствующим предыдущей области решения с матрицей J(m-1) = L(m-1)U(m-1).

Задача нахождения х*, удовлетворяющего уравнению (8.28) при заданном у*, при использовании кусочно-линейных методов формулируется как задача проведения траектории движения изо­бражающей точки в секционированном пространстве, начиная с x(0). Причем в области значений функции f (подпространстве у) траек­тория L(у) имеет вид прямой линии, соединяющей точки у(0) и у*, а в области значений аргументов (подпространство х) эта траекто­рия имеет форму кусочно-линейной кривой L(x), точки излома которой находятся на граничных гиперплоскостях. При выборе начального значения x(0) исходят из условий обеспечения сходи­мости решения, для чего в качестве начальной выбирают область, в которой принципиально может находиться только одно реше­ние, и вычисляют

Далее строят часть кривой решения L(x), расположенной в на­чальной области R0,

(8.30)

по двум точкам

при этом кривая решения L(y) имеет вид

(8.31)

В выражениях (8.27) и (8.28) коэффициент λ изменяется в диа­пазоне 0 ≤ λ≤λ (0), где значение λ(0) < 1 определяется из условия, что х(0)[λ(0)] лежит на граничной гиперплоскости между областями R(0) и R(1) и не попадает в точку пересечения нескольких областей, т. е. из условий

Далее аналогичным образом строятся части «кривых решения» L(x) и L (у) в области R(1):

(8.32)

и также оценивается величина λ, для этой области и т. д.

Процесс вычислений (перебора областей) продолжается до тех пор, пока λ в одной из них, например в s-й области, не достигнет значений

λ = 1. Тогда

Если матрицы J(т) и J(т-1) для соседних областей имеют оди­наковые знаки, то при прохождении границы областей коэффи­циент λ > 0, что быстро ведет к сходимости вычислений. Если указанные матрицы имеют различные знаки, то граница областей пересекается при λ < 0 и решение y(т) уходит от у*, что в прин­ципе может привести к образованию циклов в траектории движе­ния L(x).

Следует подчеркнуть, что ускорение процедуры решения нели­нейной алгебраической системы уравнений применением кусочно-линейных методов достигается за счет точности самого решения.

Выбор метода решения системы алгебраических урав­нений. Решение систем алгебраических уравнений (АУ) имеет место во многих консультационных процедурах и прежде всего в процедурах функционального консультирования. Эф­фективность решения этих консультационных задач вносит существенный вклад в общую эффективность выполнения консультационных процедур, поэтому необходимо правильно выбрать метод решения системы АУ. Такой выбор приходится осущест­влять разработчику пакета прикладных программ (ППП) для подсистем функционального консультирования. Если же пакет выполнен открытым по отношению к численным методам решения систем АУ и, следовательно, содержит ряд модулей, реализующих альтернативные методы, то выбор метода возлагается на консультанта.

На эффективность применения метода оказывают вли­яние не только особенности самого метода, но и в не мень­шей мере особенности решаемой задачи и используемой ЭВМ. Среди наиболее существенных особенностей задач, называемых ниже факторами, отметим размерность п (порядок системы уравнений), число обусловленности Ц и разреженность S матрицы Якоби, а среди особенностей ЭВМ — быстродействие Б, определенное для класса консультационных задач, емкость оперативной памяти и разрядность машинного слова. Разработчик ППП должен ориентироваться на некоторые диапазоны значений этих факторов, характерные для моделей консультируемых проблем в соответствующей предметной области. Эти диапа­зоны должны быть либо указаны в техническом задании на разработку ППП, либо спрогнозированы самим разра­ботчиком на основе исследования статистических данных об имеющихся или предполагаемых моделях.