Консалтология Общая теория консалтинга (стр. 35 )

Так как вероятность надежного функционирования КП определяется главным образом наименьшей из веро­ятностей выполнения отдельных условий функционирования КП, то в первую очередь нужно увеличивать наименьший из запасов sj. Поэтому в качестве целевой функции F(X) следует выбрать наименьший из запасов, и задача опти­мизации параметров КП формулиру­ется как максиминная задача нелинейного программиро­вания:

Ограничениями задачи при этом будут прямые ограни­чения (9.46г).

Максиминный критерий запаса функционирования КП применим при наличии у консультируемой проблемы парамет­ров с условиями функционирования КП любого вида. Этот критерий в зависимости от конкретной ситуации может рассматриваться либо как детерминированный, либо как статистический.

На втором этапе формулируется задача вписывания гиперпараллелепипеда допусков Zд в область функционирования Z0. В этой задаче к исходным данным относятся:

1. Область функционирования КП Z0, задаваемая прямыми ограничениями (9.46г) и условиями функционирования КП,

приведенными к виду yj (X)≤ yj (0).

2. Точка XэZ0.

3. Соотношения αi, между допусками gi, равноценными с позиций затрат на их получение при производстве.

При решении задачи сначала нормируют управляемые параметры в соответствии с заданными соотношениями между допусками

где иi — нормированный параметр хi; αi =g1/gi.

При таком нормировании оптимальной формой допусковой области является гиперкуб с ребрами, параллельны­ми координатным осям. Областям Z0 и Zд в нормирован­ном пространстве управляемых параметров соответствуют области U0 и U1.

Задача вписывания формулируется как задача опреде­ления центра гиперкуба U*U0, имеющего максимальную длину ребра при условии, что оценка рассогласования по­ложений областей работоспособности КП U0 и допусковой об­ласти U1 не превышает заданной величины.

Рассмотрим один из алгоритмов вписывания, основан­ный на линеаризации зависимостей уj(U) и ориентиро­ванный на случай, когда U1U0. Этот случай часто назы­вают оптимизацией параметров и допусков в условиях 100%-ного выхода годных. Принимается также допуще­ние о постоянстве знаков коэффициентов влияния aji = ∂уj /∂хi т.

sgn (aji) = const, (9.47)

в пределах U0, i=l, 2, ..., п; п — количество управляемых параметров.

Для j-го участка границы области U0, выражаемого уравнением

(9.48)

известно положение нормали, проходящей через центр U* гиперкуба. Система уравнений этой нормали в парамет­рическом виде

(9.49)

где hj — параметр; aji определяется в точке пересечения нормали с поверхностью (9.48).

Запишем систему уравнений для диагонали искомого гиперкуба, имеющей ту же ориентацию, что и j - я нормаль (9.49):

(9.50)

где γj — параметр.

В соответствии с (9.47) вычисление aji может быть вы­полнено в точке Uэ. Проведем линеаризацию границ (9.48) области U0, используя разложение уj(U) в ряд Тейлора в окрестности опорной точки Uэ:

(9.51)

Обозначим

Тогда (9.51) перепишем в виде

(9.52)

Точка пересечения диагонали (9.50) с границей (9.52) определяется из совместного решения уравнений (9.50) и (9.52):

(9.53)

Здесь γj имеет смысл половины длины ребра гиперкуба, имеющего центр в точке U* и вершину на гиперповерхно­сти (9.52). Всего имеем т условий функционирования КП и, следовательно, не более чем т вершин на границах U0.

Чтобы выполнить условие U1U0, нужно контролировать принадлежность области U0 вершины, которой соответству­ет минимальная величина γq среди величин γj. Чтобы об­ласть U1 имела максимально возможные размеры, нужно, максимизировать γq, варьируя положение центра U*.

Таким образом, задача вписывания допусковой области в область функционирования КП формулируется как задача ли­нейного программирования

при ограничениях

Последнее ограничение ставится в том случае, если точ­ка Uэ должна принадлежать допусковой области.

Отметим, что основные затраты машинного времени на реализацию алгоритма связаны с анализом чувствительно­сти. Анализ чувствительности методом приращений требует п+1 раз обращаться к математической модели КП. Первое обращение производится при значении вектора уп­равляемых параметров Uэ и позволяет вычислить

уj(Uэ), фигурирующие в (9.51). Каждое последующее обращение позволяет вычислить очередную строку матрицы чувстви­тельности и в итоге дает значения aji. Теперь полностью определена линеаризованная модель КП (9.53). Ма­нипулирование ею при решении задач линейного програм­мирования не требует заметных затрат машинного време­ни.

При большом числе п управляемых параметров (нес­колько сотен и более) применение алгоритма, включающего анализ чувствительности методом приращений, становится нерациональным. С ростом п более предпочтительными оказываются алгоритмы, основанные на статистических ис­пытаниях.

Одним из таких алгоритмов является алгоритм центри­рования по методу статистического градиента. На каждом шаге алгоритма выполняются N статистических испытаний с выбором случайных точек в пределах некоторой области UCT. По результатам испытаний выделяются те точки UpUCT, которые оказались в области функционирования КП U0. Для следующего шага в качестве координат иi* центра U* допусковой области UCT принимаются средние арифме­тические значения координат иip выделенных точек Up.

Ксли в процессе испытаний область UCT выбирается в со­ответствии с некоторыми условиями (например, U0UCT и UCT имеет форму гиперсферы) и если выполнено достаточ­ное количество шагов, то точка U* может быть принята в качестве центра области U0, а окончательная допусковая область Uд устанавливается в соответствии с характером распределения точек Up на последнем шаге центрирования. Задача оптимизации допусков обычно решается на том иерархическом уровне консультирования, на котором в качестве управляемых параметров фигурируют параметры базовых элементов.

Сформированные рекомендации по рассчету допусков используются для выбора унифицированных деталей и узлов по спра­вочникам и каталогам либо служат непосредственными исходными данными для последующего технологического проектирования.

На промежуточных иерархических уровнях нисходящего функционального или конструкторского проектирования также возникают задачи, подобные задаче оптимизации допусков. Предположим, что на k-м иерархическом уровне управляемыми параметрами КП являются параметры уj. На следующем, (k+1)-м иерархическом уровне эти же параметры рассматриваются уже как выходные парамет­ры подпроблем, а управляемыми параметрами здесь оказы­ваются другие параметры xi. Для выполнения консультирования на (k +1)-м иерархическом уровне на выходные па­раметры уj нужно задать условия функционирования КП. Очевидно, что эти условия должны быть результатом сформированных рекомендаций на k - м уровне, т. е. должны быть определены не только некоторая оптимальная точка Y* в пространстве параметров уj, но и консультационные требования уj(0) на эти параметры.

Задача оптимального расчета консультационных требований уj(0) по своей постановке и методам решения близка к рас­смотренной выше задаче оптимизации допусков. Исходны­ми данными при ее решении являются условия функционирования КП, задаваемые на параметры КП, а резуль­татом должны быть условия функционирования КП для подпроблем. При оптимизации консультационных требований на последующем (k +1)-м уровне исходными данными будут условия функционирования КП на параметры подпроблем, а результатом — условия функционирования КП для элементов подпроблем и т. д.

Таким образом, блочно-иерархический подход приводит к формулировке основных оптимизационных задач нисходящего консультирования как задач оптимального пре­образования консультационного задания на КП k-го иерар­хического уровня в консультационное задания на КП (k+1)-го иерархического уровня. Эти задачи решаются с помощью статистических или детерминированных алгорит­мов вписывания гиперфигур в заданную область п-мерного пространства параметров.