Консалтология Общая теория консалтинга (стр. 96 )

Ввиду существования обратной функции t = G-1(у) из соот­ношения (10.148) можно получить

Ф (и, v) = G-1 [G (и) + G (v) — G (l) ].

Тогда

Ф (v, и).= G-1 [G (v) + G (и) — G (l) ] = Ф (и, v),

т. е. симметричность доказана.

Далее

G (Ф(и, Ф (v, z)))=G (и)+G (Ф (v, z))- G (l)=G(u)+G(v)+G (z)-G(l)-G (l)= = G (v) + G (Ф (и, z)) — G(l) = G (v, Ф (и, z)),

откуда

Ф (и, Ф (v, z)) = Ф (v, Ф (и, z)),

и ассоциативность также доказана.

Получим явное выражение для способа учета неопределенности, порождаемого заданной функцией G(t). Будем рассматривать множество неопределенностей X двух видов: состоящее из конеч­ного числа элементов N и являющееся замкнутой ограниченной областью n-мерного Евклидова пространства.

Пусть X состоит из конечного числа элементов: X = {хi}i=1,2,…,N.

Рассматривая это множество как результат последовательного объединения его элементов и используя соотношение (10.142), имеем

FA(X) = Ф(f(х1 , А), Ф(f(х2 , А), Ф(..., Ф(f(хN-1 , А), f(xN , A)), ...).

Тогда, последовательно используя соотношение (10.145), получим

G(FA(x))=Ф(f(х1 , А), Ф(f(х2 , А), Ф(..., Ф(f(хN-1 , А), f(xN, A)), f(xN, A)), ...) =

= G(f(х1 , А), G(f(х2 , А), Ф(..., Ф(f(хN-1 , А), f(xN , A)),...)-G(l) =

= ..., G(f(x1, A)) + G(f(x2, A)) + ...+G(f(xN , A))-

- (N - 1)G (l) = G (f(xi,A) ) - (N - 1) G (l).

Потребуем, чтобы пара G (t), l, определяющая допустимый способ учета неопределенности, удовлетворяла свойству осреднения. Это накладывает (при f (хi, А) = С = FA (X)) следующее усло­вие:

G (FA (X)) = G (FA (X)) - (N - 1) G (l),

откуда, ввиду строгой монотонности G(t), l=FA(X). Тогда окон­чательно получим

G (FA (X)) = G (f(xi,A) )

что позволяет искомый функционал записать в виде

Fa(Х)= G-1 (G (f(xi,A) )) (10.156)

Пусть X —замкнутая ограниченная область Евклидова про­странства меры Ω. Разобьем ее на N подобластей одинаковой меры ∆i = ∆= Ω/N,

i = 1, ..., N, выберем в каждой из них произвольную точку xi X. Полученное конечное множество точек XN с известной точностью характеризует все множество X. Значение FN показателя эффективности рекомендации, вычисленной с учетом XN вместо X, удовлетворяет равенству

G(F, N)=G (f(xi,A) )=G (f(xi,A) )) =G (f(xi,A) )∆.

С возрастанием N множество XN все полнее характеризует X, так что ввиду непрерывности G (t)

=G(FA(X)),

а с учетом предыдущего равенства

=G (xi,A)∆= G(f(x, A) dx.

Итак, окончательно,

G(FA(X))= G(f(x, A)) dx, (10.157)

или

F(X)=G-1( G(f(x, A)) dx) . (10.158)

10.2.4.4. Формирование оптимального типового набора способов учета неопределенности

Базируясь на результатах пп. 10.2.4.2 и 10.2.4.3, приступим к форми­рованию типовых наборов способов учета неопределенности, т. е. к замене множества всех допустимых порождающих функций из квадрата 0≤G≤1, 0≤t≤1 конечным (и небольшим) числом типовых порождающих функций. Эту замену будем производить таким образом, чтобы минимизировать ошибку, возникающую при использовании типовой порождающей функции вместо «истин­ной».

Формирование типовых наборов способов учета неопределен­ности состоит в размещении оптимальных ε-сетей в множестве допустимых порождающих функций S={G(t), G (0) = 0, G (1) =1}. Число элементов такой сети определяет число способов учета неопределенности, используемых ЛФР при формировании рекомендаций, а величина ε характеризует, насколько полно эти способы отра­жают все многообразие различных аспектов влияния неопреде­ленности на эффективность рекомендаций.

Построение ε - сетей во множестве S возможно лишь после вве­дения метрики, т. е. понятия «расстояния» ∆ между двумя допу­стимыми способами учета неопределенности, характеризуемыми порождающими функциями G1 (t) и G2 (t). Эта метрика должна от­ражать понимание близости между способами учета неопределенности, но в то же время удовлетворять известным ак­сиомам метрики: тождества, симметрии и треугольника. Ясно, что естественной мерой близости между способами учета неопреде­ленности является различие в оценке эффективности формируемых рекомендаций, вы­численной с их использованием. Учитывая инвариантный харак­тер множества S, правилу определения расстояния в нем также следует придать инвариантный характер. Отсюда следует, что расстояние должно быть определено в рамках некоторой эталон­ной задачи. В качестве такой задачи примем расчет н-обобщенных потерь при функции локальной эффективности f(х)=х и множестве неопределенностей X = [0, 1 ].

Самым естественным мерилом близости способов учета неопре­деленности в этой задаче была бы абсолютная величина разности между значениями н-обобщенных потерь, вычисленными по раз­личным способам учета неопределенности:

A (G1; G2) = |G1-1 ( G1(x)dx) – G2-1 (G2 (x) dx )| . (10.159)

Однако в этом случае не выполняется аксиома тождества (рис. 10.46): расстояние между различными функциями G1(t) и G2(t) может оказаться равным нулю.

Рис. 10.46. К определению расстояния между допустимыми способами учета неопределен­ности

Действительно, в выражении (10.158) интегралы определяют площади S1 и S2 криволинейных трапеций, ограниченных графиками функций G1 (t) и G2 (t), а тогда н-обобщенные потери F1 и F2 могут совпадать. Поэтому от рассмотрения разности между «истинными»

н-обобщенными потерями целесооб­разно перейти к рассмотрению разности «субъективных» н-обоб­щенных потерь G1 (F1) и G2 (F2), т. е. считать