Консалтология Общая теория консалтинга (стр. 18 )

(8.122)

где

— матрица частных производных.

Если для аппроксимации производной воспользоваться, напри­мер, выражением (8.60)

то уравнение (8.122) преобразуется к виду

(8.123)

где

— матрица Якоби.

Таким образом, на каждой итерации при решении уравнения (8.121) на интервале [0, Т] интегрируется система уравнений (8.1) с одновременным вычислением ∂хi(tп+1)/∂хi(0), в соответствии с вы­ражением (8.123). При этом вектор хi(0) начальных значений, со­ответствующий установившемуся режиму, определяется при одно­временном выполнении условий сходимости итерационного про­цесса согласно выражению (8.121)

и условия периодичности (8.120)

соответственно.

Перепишем выражение (8.121) в виде, известном как метод Эйприла — Трика:

где

а демпфирующий параметр λ≤1 выбирается по аналогии с выра­жениями (8.8) и (8.9).

При анализе автоколебательных режимов консультируемых проблем период Т неизвестен и его требуется определить. В этом случае вектор пере­менных модели консультируемой проблемы видоизменяется путем введения дополни­тельной составляющей, соответствующей периоду Тi, вместо одной из переменных выражения

Корректируются также j-й столбец матрицы перехода состоя­ний Wi, определяемый выражением

(8.124)

и j-й диагональный элемент единичной матрицы 1, приобретающий нулевое значение. Позиция j выбирается на каждой итерации, на­пример, как номер компоненты ∂хi((Тi)/∂Тi, соответствующего значению максимальной производной из выражения (8.124).

Квазиньютоновские методы достаточно эффективны при анализе периодических режимов моделируемых консультируемых проблем. Скорость их схо­димости повышается, если в качестве начальных на первой итера­ции используется значение вектора х, полученное путем предвари­тельного интегрирования системы уравнений (8.1) обычными ме­тодами в течение нескольких периодов рассчитываемого процесса.

Градиентный метод. Задача анализа установившихся периоди­ческих режимов в нелинейных консультируемых проблемах может быть сформулиро­вана как задача поиска минимума целевой функции

(8.125)

где δ[х(0), Т] определяется из выражения (8.120).

Градиент такой целевой функции соответствует

или с учетом выражения (8.120)

(8.126)

Матрица W = ∂х[х(0), Т]/∂х(0) может быть получена по ана­логии с предыдущим. Из выражения (8.122) следует, что

8.127)

Полученному уравнению (8.127) можно поставить в соответст­вие сопряженное уравнение

(8.128)

при этом

(8.129)

В справедливости соотношения (8.129) легко убедиться, если продифференцировать его по времени и принять во внимание вы­ражения (8.127) и (8.128):

Если учесть, что z=∂x[t, х(0)]/∂х(0), то для t = T получаем

(8.130)

Следовательно, если положить у(Т) = δ[х(0), Т] и определить

у(0) путем интегрирования сопряженных уравнений на интервале [Т, 0] в обратном времени, начиная с у(Т), то в соответствии с вы­ражениями (8.130) и (8.126) найдем

(8.131)

В результате основными этапами вычисления градиента целевой функции являются: интегрирование исходной модели консультируемой проблемы по выражению (8.1) на интервале [0,Т], начиная с х(0), и запоми­нание решений x[t, x(0)]; итерационное вычисление вектора невязки согласно уравнению (8.120); решение сопряженных уравне­ний (8.128) в обратном времени на интервале [Т, 0] вдоль траек­тории х[х(0), t], начиная с δ[х(0), Т]; определение градиента в соответствии с выражением (8.131).

Для случая, когда период процесса Т неизвестен, в градиенте целевой функции появляется дополнительная составляющая

или с учетом выражения (8.124)

(8.132)

После этого, используя одну из процедур оптимизации, определяем значения ∆хi+1 [хi(0), Тi+1] с учетом значений Ф[хi(0), Тi] и g[хi(0)] и корректируем величину хi(0) вектора началь­ных значений. Критерий сходимости используется в виде

Экстраполяционный метод базируется на ε-алгоритме, который предназначен для нахождения числовой последовательности с экс­поненциальными членами и может быть представлен следующей экстраполяционной схемой:

При этом последующие значения Е(q)k+1 вычисляются согласно выражению

(8.133)

где

- последователь­ность скалярных либо векторных величин.

Оказывается справедливым следующее соотношение:

(8.134)

где

a Cv— некоторые действительные числа. Тогда применение ε — алгоритма к последовательности {Sq} приводит к

Пусть последовательность {xq} соответствует значениям векто­ра переменных из итерационной формулы

начиная с хi0=уi, i = 0, 1, ..., и пусть у — вектор начальных значений переменных консультируемых проблем, соответствующий установившемуся режиму консультируемой проблемы, т. е. решению уравнения вида у =ψ(y).

На каждом шаге вычисления последовательности {xq} получаем

(8.135)

Если

соответствует минимальному многочлену ψ′(y) степени т по отношению к (хi0 — у), то согласно выражению (8.135) находим

(8.136)

Так как первая сумма в правой части уравнения (8.136) в си­лу свойств минимального многочлена равна нулю, то

(8.137)

Сравнивая выражения (8.137) и (8.134), находим, что

Е(q)2т =у+0 (|| у'—у ||2), что справедливо, в частности, и для Е(0)2т.

В результате

(8.138)

или решение стремится к у по крайней мере по квадратичному за­кону.

При расчете установившихся периодических режимов последо­вательность {xq}, q = 1, ..., 2т формируется путем интегрирова­ния уравнений исходной модели консультируемой проблемы (8.1) на интервале [0,2mТ], где Т — период моделируемого процесса. При интегрировании вы­бираются некоторые начальные значения хi0=yi, начиная с i == 0.

Применяя ε-алгоритм к сформированной последовательности, находят

Далее по аналогии с выражением (8.7) вы­числяют и проверяют максимальную относительную погрешность

где xmax — вектор максимальных значений хi0.

Если погрешность превышает допустимую, то изменяют вектор максимальных значений

и, полагая хi+10 =yi+1, повторяют цикл вычислений.

Отсутствие в рассмотренном методе трудоемких этапов оптими­зации, вычисления вспомогательных матриц (например, W) и до­вольно простое согласование алгоритма с программами анализа динамических процессов выгодно отличает рассмотренный подход от упомянутых выше и позво­ляет без особых усилий расширить функциональные возможности ком­плексов моделирующих программ.