Консалтология Общая теория консалтинга (стр. 95 )

Ф (и, 1) > Ф (и, 0),

что завершает доказательство.

Теорема 2. Существует такое число l [0, 1 ] — метка, что

u [0, 1], Ф(u, l) = u.

Доказательство. Обозначим Ф (0, 1) = к. Из тео­ремы 1 следует, что

0 ≤ к ≤ 1.

Ввиду симметричности Ф (и, v) (по следствию из теоремы 1)

Ф (1, 0) =Ф(0, 1) = к.

Из леммы 1 при и = 1 имеем

Ф (1, v) = Ф(1, 0) = к.

Ввиду строгой монотонности ψ (и) можно записать

u [0, 1] Ф (и, v) ≤ Ф (1, v) = к. (10.146)

Аналогично, ввиду строгой монотонности Ф (и, v)

Ф (0, v ) = Ф(0, 1) = к

и из строгой монотонности φ (и)

u [0, 1] Ф (и, v ) ≥ Ф(0, v) = к. (10.147)

Тогда при и = к из условий (10.146), (10.147) следует

(к, v) ≤ к;

Ф (к, v) ≥ к

и ввиду непрерывности функции Ф (к, v) по v на отрезке [0, 1 ] существует такое l [0, 1], что

Ф (к, l) = к.

Далее из условия (10.147) следует, что u [0, 1] значения функции Ф (и, v) при изменении v от 0 до 1 заключены в пределах, содержащих к, поэтому

u [0, 1] zи [0, 1]: Ф (и,zи) = к.

Ввиду ассоциативности функции построения

Ф (к, l) = Ф (Ф (и, zи), l) = Ф (Ф (и, l), zи) = к = Ф (и, zи).

Но так как Ф(и, v) строго монотонна по своим аргументам, ра­венство

Ф (Ф (и, l), zu) = Ф (и, zи)

возможно тогда и только тогда, когда

Ф (и, l) = и,

что и требовалось доказать.

Теорема 3.

u,v [0, 1]; (10.148)

G (Ф (u,v)) = G (и) + G (v ) - G (l),

где G (t) — дифференцируемая, строго монотонно возрастающая на отрезке [0, 1 ] функция — так называемая порождающая функция.

Доказательство. Пусть z =l + ∆z, где l— метка, a ∆z → 0. Для любых u,v [0, 1] обозначим:

С = Ф (С, z).

Тогда определено число

С1 = Ф (С, z).

По свойству гладкости функция Ф (и, v), как имеющая непрерыв­ные частные производные, дифференцируема в любой точке мно­жества

[0, 1]× [0, 1]. Поэтому в некоторой окрестности точки (С, l)

С = Ф(С, l + ∆z) = Ф(С, l) + Ф'v(С, l)∆z + α, (10.149)

где α /(∆z) → 0 при ∆z →0.

Рассмотрим в этой окрестности разность

∆С = С1 - С = Ф'v(С, l)∆z + α. (10.150)

Покажем, что в интервале [0, 1 ] существует бесконечно близкое к и число и', такое, что

Ф (и', v) = С1, и' = и + ∆и, ∆u →0. (10.151)

Действительно, по свойству ассоциативности Ф (и, v)

С1 = Ф (С, z) = Ф (Ф (и, v), z) = Ф (Ф (и, z), v).

Из близости z к l и непрерывности функции построения следует близость Ф (и, z) к Ф (и, l) = и. Если обозначить Ф (и, z) через и', тo

и' →u. Из условия (10.151) можно получить соотношение, аналогичное (10.149):

∆и = и' — и = Ф (и, z) — и = Ф (и, l+∆z) — u =

= Ф(и, l) + Ф'v(u, l) +∆z+β-и, (10.152) где β/(∆z ) →0 при ∆z →0.

Переходя в выражениях (10.150), (10.152) к пределу при ∆z →0, по­лучим

= Ф'v(C, l), = Ф'v(u, l),

или

= (10.153)

При этом заметим, что Ф'v(u, l)>0, [0, 1] ввиду строгой монотонности Ф (и, v).

Обозначим

Ф'v(t, l) = g(t),

где g (t) — непрерывная и положительная функция. Тогда равенство (10.153) можно записать в виде

(10.154)

Проинтегрируем выражение (10.154) от некоторой начальной точки (и0, С0) до текущей точки (и, С), т. е.

(10.155)

Введем первообразную

G(t)= ,

которая ввиду g(t)>0 существует, непрерывно и монотонно воз­растает. Тогда соотношение (10.155) можно записать в виде

G(C)-G (C0) = G(u)-G (u0).

Примем u0 = l. В этом случае С0 = Ф (l, v) = v и окончательно

G (Ф (и, v)) = G(u) + G(v) — G (l).

Следствие. Множество S способов учета неопределенности, удов­летворяющих свойствам 1—4, а также универсальности и глад­кости, описывается множеством порождающих функций, удовле­творяющих условиям:

G(0) = 0, G(l) = 1.

Данное следствие вытекает из того, что по соотношению (10.148) семейство порождающих функций {к0 + к1G (t)} , описывает одну и ту же функцию построения. Следовательно, из этого семей­ства достаточно включить в S лишь функцию, удовлетворяющую указанным условиям. Такая функция существует в каждом ука­занном семействе, так как система уравнений:

к0 + к1G (0) = 0;

к0 + к1G (1) = 1

всегда имеет решение ввиду строгой монотонности порождающих функций:

Описанное множество S весьма представительно. В частности, ему принадлежит функция построения Ф=и+v, описывающая учет неопределенности в среднем (порождается функцией G = t); функция Ф = — так называемая «обобщенная средняя Эйлера» (порождается функцией G=ts); функция Ф=uv, отра­жающая «надежностный» подход к учету неопределенности (по­рождается функцией G = ln t). В это подмножество не входят, правда, функции

Ф = max (и, v), Ф = min (и, v), задающие экс­тремальные способы учета неопределенности. Эти функции недифференцируемы при и=v, однако, они являются предельными для входящих в подмножество обобщенных средних Эйлера при s →±∞. Следует помнить, что эти две функции следует включить во мно­жество S, так как они широко применяются при учете неопреде­ленности. Математическим основанием для этого являются ре­зультаты работы , показывающие, что требование строгой монотонности порождающей функции может быть заменено требо­ванием монотонности.

Теорема 3 является необходимым условием для функции по­строения. По ее подобию можно сформулировать следующее доста­точное условие.

Теорема 4. Для того чтобы функция Ф (u, v) была функцией по­строения, достаточно, чтобы она удовлетворяла следующему функ­циональному уравнению:

G(Ф (и, v)) = G (u) + G (v) — G (l),

где G (l) — непрерывная порождающая функция, имеющая об­ратную, а l— некоторое фиксированное число.

Доказательство. Учитывая теорему 1, данное дока­зательство можно свести к доказательству симметричности и ассоциативности Ф (и, v).