Консалтология Общая теория консалтинга (стр. 26 )

На основании выражений (8.151) и (8.152) имеем:

или в матричной форме

В тех случаях, когда различные пути между вершинами графа, отображающего рассматриваемую структуру, неравноценны, соот-ствующим звеньям приписываются некоторые коэффициенты (веса), учитывающие их характеристики по выбранному показателю. Ранг элементов в этом случае определяется аналогично рассмотренным выше приемам, но, в отличие от них, ранги отдельных (или всех) элементов структуры не выражаются целыми числами.

Приведенное выше определение понятия ранга элемента в ряде случаев оказывается недостаточным, так как оно не оценивает существования транзитных путей, содержащих более, чем два звена. В подобных случаях, наиболее часто встречающихся при оценке качества сложных структур, вместо этого понятия будем применять понятие — полный ранг элемента, определяемый как сумма всех ориентированных непосредственных и транзитных путей, соединяющий данных элемент с остальными элементами структуры.

Вычисление полного ранга элемента производится аналогично описанному выше с использованием машинных методов. Для определения полного ранга элементов последовательно находятся матрицы А, А21 и т. д. до тех пор, пока все элементы одной из этих матриц не станут равными 0. Полный ранг элемента определим по фррмуле:

или в матричной форме

где [aij]k — элемент, принадлежащий i-й строке и j-му столбцу матрицы Ak = ([aij]1 = аij).

При оценке качества структуры по рассматриваемому показа­телю следует иметь в виду, что наличие одного или нескольких элементов с высокими рангами заставляет предъявлять к этим элементам повышенные требования по безотказности, поэтому при разработке структур надо стремиться к тому, чтобы все элементы структуры имели близкие друг к другу и относительно невысокие ранги.

Оценивая соотношения элементов в КП рангом, можно определить не только их структурную значимость, но и функцио­нальную. Для этого необходимо знать описание характера послед­ствий изменения параметров того или иного элемента КП. Здесь достаточно иметь лишь качественное описание, примерно в такой форме: «изменение параметра первого элемента вызывает измене­ние параметров второго и третьего элементов...» и т. д.

На основании словесного описания можно построить граф (рис. 8.20), отражающий взаимное влияние элементов в КП, и матрицу отношений.

Рис. 8.20. Граф взаимного влияния эле­ментов КП

В случае, если степень влияния точно количественно неизвест­на, то на месте i-гo элемента матрицы отношений ставится единица. Это означает лишь только то, что i-й элемент влияет на j-й. В том случае, когда степень влияния можно характеризовать некоторым числом или набором чисел, то в соответствующей клетке матрицы доминирования ставится этот весовой коэффициент. Нуль, как и прежде, означает отсутствие влияния элементов друг на друга. Порядок вычисления ранга, определяющего функциональную значимость элемента, остается тем же, что и при вычислении ранга, определяющего структурную значимость элемента.

При вложении конкретного содержания в понятие «отношение» может образоваться несколько групп рангов, определяющих струк­турную, функциональную и иные значимости элементов. Для определения уровня ранжировки, на котором требуется остано­виться, воспользуемся информационным подходом к решению поставленной задачи.

Каждое ранжирование можно рассматривать как опыт с некото­рым исходом (векторным) R. Компоненты этого вектора — ранги элементов системы, сумма которых равна единице.

Известно, что множество положительных дро­бей, в сумме составляющих единицу, можно рассматривать как соответствующие некоторому множеству элементы, которые обна­руживают разнообразие. В этом случае энтропия Н может служить средней мерой разнообразия на одну составляющую. Условимся, что до ранжирования разнообразие по рангам элементов в КП оценивалось Н0, а после ранжирования — Н1, Тогда величиной

Jn=H0-H1, (8.153)

называемой количеством информации, можно характеризовать эффект, даваемый ранжированием как действием, ограничивающим разнообразие (устраняющим неопределенность задачи).

Изменение неопределенности задачи под влиянием пришедшего сигнала можно интерпретировать как процесс запасания полезной информации, если за нулевой уровень принять запас информации при равномерной значимости элементов (что соответствует равно­вероятностному исходу опыта). Тогда

Jп = log n — H1, (8.154)

где п — число элементов КП, а

(8.155)

Поскольку количество информации J достигает максимума при

R=1/п, то любая первая ранжировка даст приращение объема полезной информации Jп > 0. Пусть имеются другие ран­жировки. Для выявления целесообразности использования их результатов необходимо выполнить следующие действия. По фор­муле (8.155) подсчитать для всех k ранжировок значения Hk. Затем расположить Hk в порядке их убывания и подсчитать по формуле

∆Jn = Нk – (Нk - 1) (8.156)

прирост полезной информации, даваемый каждой последующей ранжировкой относительно предыдущей. Задаваясь определенным уровнем прироста полезной информации ∆Jп ранжировки, кото­рые не дают прироста информации (возможен случай «дезинформа­ции» при ∆Jп < 0), из дальнейшего рассмотрения следует исклю­чить.

Сравнивать эффект ранжировок следует по группе сравнимых, эквивалентных факторов, определяющих качество функциониро­вания КП. В подобной ситуации возможно получать конечные формулы, оценивающие прирост полезной информации.

Допустим, что в k-й ранжировке ранги неполно отражают значимость элементов, отличаясь от «истинных» на величину ±∆Ri, а в (k + 1)-й ранжировке определены истинные значения рангов. Тогда для i-х составляющих будем иметь в k-й ранжировке

где δi= ∆Ri /R0i;

в (k +1)-й ранжировке —

Отсюда, согласно (8.156), будем иметь

(8.157)

Из (8.157) следует, что последующее ранжирование будет целе­сообразным в том случае, когда оно усиливает найденные значи­мости элементов, если при этом происходит более резкое разгра­ничение элементов по их значимости.

Рассмотрим метод определения множества сочленения. Как от­мечалось ранее, под множеством сочленения графа понимают такое множество его элементов, удаление которых делает граф несвяз­ным.

Принадлежностью к множеству сочленения можно оценивать значимость как вершин, так и ребер графа. Однако большая слож­ность и трудоемкость определения принадлежности элемента к множеству сочленения делает предпочтительным ранжирование при определении значимости вершин графа — элементов КП. Для оценки значимости ребер графа, что соответствует оценке значимости связей в КП, не просматривается ничего иного, кроме множества сочленения. Поскольку оценить значимость ребер не представляется, возможно, ничем иным, кроме множества сочле­нения, то приходится мириться с неизбежными усложнениями.

Метод определения принадлежности элементов графа к множе­ству сочленения сводится к следующему. Пусть имеется граф, вершины которого соответствуют элементам КП, а ребра — отно­шениям (связям) между ними. Строится вспомогательный граф отображением множества вершин во множество ребер.

Построение вспомогательного графа осуществляется следую­щим образом: вершины вспомогательного графа, число которых равно числу ребер исходного графа, размечаются индексами (буквами), соответствующими разметке ребер исходного графа (рис. 8.21); если в исходном графе ребра были смежными, т. е. имели общую вершину, то во вспомогательном графе соответствующие вершины соединяются ребром. Например, ребра у1, у2,у3 исходного графа смежны (рис.8.21, а).

Рис. 8.21. Граф: а — основной; б — вспомо­гательный

Следовательно, во вспомогательном графе вершины у1, y2, y3 следует соединить ребрами (рис. 8.21, б). Для определения при­надлежности элемента к множеству сочленения следует придержи­ваться следующего порядка.

1. Определить центры и периферийные точки графа.

Рассмотрим некоторые определения. В конечном или бесконеч­ном графе отклонением δ(х, у) его вершины х от вершины у назы­вается длина кратчайшего пути из х в у. При этом δ(х, у) удовлет­воряет условиям:

а) δ (х, х) = 0;

б) δ (х, у) + δ (х, z)> δ (х, х);

в) для симметричного графа δ(х, у) = δ(у, х).

Отклоненностью вершины х называют число:

Если наименьшая из отклоненностей является конечным чис­лом, то вершина, в которой этот минимум достигается, называется центром графа, вершина с наибольшей отклоненностью — пери­ферийной точкой графа. Исключаем из рассмотрения периферий­ные точки, так как они не могут быть точками сочленения.