Консалтология Общая теория консалтинга (стр. 7 )

Методы численного интегрирования ОДУ, применяемые в САK.

В практике машинных вычислений наиболее рас­пространены для решения ОДУ методы Гира, Адамса и Рунге — Кутта.

Общий вид формул интегрирования в неявных мето­дах Гира

где hk=tk—tk-1 — величина k-го шага интегрирования; аi — коэффициенты, значения которых зависят от порядка р метода и величин порядков последних шагов. Формулы Гира называют также формулами дифференцирования на­зад (ФДН) по той причине, что в них аппроксимация про­изводных в точке tk производится с помощью значений функций, относящихся к данному и предыдущим момен­там времени. Формула Гира при р= 1 совпадает с неявной формулой Эйлера

Часто применяют формулу Гира второго порядка, назы­ваемую также формулой Шихмана, которая при h = const имеет вид

Общий вид формул интегрирования в явных методах Адамса при р≥2

в неявных методах Адамса при р≥2

Явная формула Адамса при р=1 называется также яв­ной формулой Эйлера:

явная формула Адамса при р = 2

Неявный метод Адамса второго порядка точности назы­вают также методом трапеций, ему соответствует формула интегрирования

(8.37)

Рассмотренные методы при р≥2 являются многошаго­выми. К одношаговым методам относится метод Рунге — Кутта.

В САК в основном используются неявные методы трапеций и Гира, а в отдельных случаях применяют явный метод Эй­лера.

Использование методов возможно, если порождаемый ими вычислительный процесс является устойчивым. Неус­тойчивость вычислений может возникнуть в связи с ката­строфическим ростом погрешностей. Различают локальную погрешность интегрирования, допущенную на данном шаге интегрирования, и погрешность, накопленную к моменту tk за все предыдущие шаги. В неустойчивых методах по­грешность решения увеличивается от шага к шагу, что при­водит к полному искажению результатов и, возможно, к переполнению разрядной сетки.

Среди рассмотренных методов интегрирования имеются А - устойчивые и ограниченно устойчивые методы. А-устойчивым называют метод, при применении которого к интег­рированию системы линейных ОДУ

(8.38)

с начальными условиями V0≠0 погрешность решения стре­мится к нулю при любом значении постоянного шага h>0 и при tk→∞. Здесь А — постоянная матрица, собственные значения которой имеют отрицательные действительные части. К А-устойчивым относятся неявные методы Гира и Адамса первого и второго порядков точности.

Ограниченно устойчивыми являются остальные из рас­смотренных методов, для них характерно сохранение ус­тойчивости вычислений только при выполнении ограниче­ний, накладываемых на значение шага интегрирования. Так, для явного метода Эйлера при h = const в задаче (8.38) условие устойчивости имеет вид неравенства

(8.39)

которое должно выполняться для всех собственных значе­ний λj матрицы А. Для матрицы А с отрицательными веще­ственными собственными значениями λj условие (8.39) можно представить в виде

Если при этом система уравнений (8.33) есть модель ди­намической консультируемой проблемы (например, электронной схемы), то ве­личины — 1/λj принято называть постоянными времени τj. Тогда условие устойчивости явного метода Эйлера приво­дится к виду

(8.40)

где τmin — минимальная постоянная среди постоянных времени модели­руемой консультируемой проблемы.

Условия (8.39) или (8.40) устойчивости методов инте­грирования в применении к нелинейным системам ОДУ можно рассматривать как приближенные, при этом под λj понимают собственные значения матрицы Якоби

Так как в нелинейных задачах элементы матрицы Якоби не­постоянны, то непостоянны и ее собственные значения. По­этому априорный выбор значения постоянного шага h, удов­летворяющего условиям устойчивости на всем интервале интегрирования [0, Tкон], оказывается практически невоз­можным (случай гарантированного выполнения условий ус­тойчивости за счет выбора h τmin неприемлем, так как приводит к чрезмерным затратам машинного времени).

Интегрирование с постоянным шагом нецелесообразно и в А-устойчивых методах, так как h влияет на точность и время решения. Влияние h на точность решения по-разному проявляется на различных участках моделируемого пере­ходного процесса. Поэтому минимизация затрат машинного времени при соблюдении точностных ограничений возможна только в условиях интегрирования с переменным шагом.

Большинство алгоритмов автоматического выбора шага основано на контроле локальных погрешностей интегриро­вания. Локальные погрешности включают в себя погрешно­сти методические, обусловливаемые приближенностью фор­мул интегрирования, и округления, обусловливаемые пред­ставлением чисел с помощью ограниченного количества разрядов. Локальная методическая погрешность многоша­гового метода порядка р, допущенная на k-м шаге интегри­рования, зависит от значения шага hk и оценивается по формуле

(8.41)

где с — коэффициент, зависящий от характера и порядка метода;

||V(р +1)(τ)|| — норма (р+1)-х производных V по t, вычисленных в точке

τ[tk-p, tk]. В алгоритмах интегриро­вания задаются значением допустимой локальной погрешно­сти δ, а значение шага hk ограничивают сверху

εk < δ, (8.42)

при этом вектор (р+1)-х производных приближенно оце­нивают с помощью вектора (p+l)-x конечных разностей, вычисленных по уже найденным значениям Vk-i, i=l, 2, ..., (p+2). Однако выполнение условия (8.42) с большим за­пасом приводит к заниженным значениям hk и увеличивает Tм. Поэтому наряду с (8.42) вводят также ограничение на допущенную погрешность εk снизу и значение шага выби­рают автоматически, например по следующему правилу:

где m1<1; m2>l; δ2/δ1 = 2. (Значения т1, т2, δ2 выбирают, исходя из имеющегося опыта вычислений по данному алго­ритму.)

Для того чтобы сделать несущественным влияние по­грешностей округления, предусматривают в соответствую­щих частях алгоритма вычисления с удвоенным числом раз­рядов, а также не допускают снижения значения шага ниже некоторого минимального уровня hmin.

Сравнение методов и обоснование их выбора для кон­кретных задач автоматизированного консультирования.

Эф­фективность метода численного интегрирования оценивает­ся его влиянием на экономичность и точность вычислений.

Качественно характер влияния значения шага на по­грешность интегрирования для различных методов можно представить с помощью графиков, изображенных на рис. 8.1.

Рис. 8.1. Зависимость погрешнос­ти интегрирования от величины шага и порядка метода

В области малых h < hmin значительны погрешности округления. В явных методах наблюдается резкий рост по­грешностей при h > hкр, где hкр — максимально допустимая по условиям устойчивости величина шага интегрирования. С ростом порядка метода снижаются погрешности интегри­рования, но только при умеренных значениях h<h'. По­скольку величина h' зависит не только от порядков срав­ниваемых методов, но и от особенностей переходного про­цесса, что подтверждается формулой (8.41), то заранее оп­ределить, метод какого порядка точности даст оптимальный компромисс между показателями точности и экономичности, затруднительно. В связи с этим в программах анализа ряда консультируемых проблем (например, электронных схем) распространен метод ФДН, основанный на автоматическом выборе не только значения шага, но и по­рядка р неявной формулы Гира. Если на предшествующем (k—1)-м шаге использовалась формула порядка рk-1, то на следующем шаге выбор производился между формулами по­рядков рk-1—1, рk-1 или рk-1+1. Выбирается та формула, использование которой при заданной погрешности обеспе­чивает наибольшую величину шага hk. При этом порядок рk формул Гира не должен выходить за пределы диапазона [1,6].

Среди неявных методов интегрирования при p = const применяют методы Эйлера, трапеций, Шихмана. Их поло­жительными особенностями являются А-устойчивость и сравнительно малый объем памяти, требующийся для хра­нения результатов интегрирования, полученных на преды­дущих шагах. Однако метод Эйлера не обеспечивает необ­ходимой точности при анализе переходных процессов в cлабодемпфированных системах. Метод трапеций в его первоначальном виде (8.37) имеет недостаток, заключаю­щийся в появлении в численном решении ложной колеба­тельной составляющей уже при сравнительно умеренных значениях шагов, поэтому метод трапеций удобен только при принятии мер, устраняющих ложные колебания. Значи­тельное уменьшение ложных колебаний, но при несколько больших погрешностях, дает формула Шихмана.