Консалтология Общая теория консалтинга (стр. 89 )

Рис. 10.38. Неполная эквивалентность задач формирования рекомендаций при переходе к обобщен­ным потерям по линейной свертке при не­выпуклости множества D

Следует специально отметить, что описанный переход к обоб­щенным потерям не приводит к потере информации об исходных показателях эффективности, к замене их значений одним числом. Такое может случиться лишь при неверной трактовке обобщенных потерь, когда коэффициенты αi рассматривают не как неопреде­ленные переменные, относительно которых известны лишь усло­вия (10.125), а как конкретные числа, значения которых пытаются задать.

Несколько иной метод перехода к обобщенным потерям, также обладающим всеми отмеченными выше свойствами, положен в ос­нову «свертки Гермейера», при которой

αi≥0

αi = 1 (10.127)

и

f(x, у) = αi f i(x, у2), (10.128).

Если в случае линейной свертки обобщенные потери можно трактовать как средневзвешенное значение потерь, то при свертке Гермейера — как предельное значение взвешенных потерь. Такая трактовка менее привычна, зато при свертке Гермейера эквива­лентность задач формирования рекомендаций с вектором потерь и с обобщен­ными потерями имеет место всегда, лишь бы потери были неотри­цательны. Такая эквивалентность иллюстрируется с помощью рис. 10.39, где линии уровня обобщенных потерь имеют вид семейства «углов».

Рис. 10.39. Эквивалентность за­дач формирования рекомендаций при пе­реходе к обобщенным потерям по свертке Гермейера

Итак, задачу формирования рекомендаций в условиях неопределенности можно без ограничения общности описывать триадой (X, Y, f(x, у)) , где X — множество неопределенностей (включая неопреде­ленные коэффициенты сравнительной значимости показателей эффективности); Y — множество допустимых рекомендаций; f(х, у) — функция обобщенных потерь (скалярная). В дальнейшем будем подразумевать именно такую ее постановку, формальная незамк­нутость которой иллюстрируется рис. 10.34.

Замыкание задачи формирования рекомендаций в условиях неопределен­ности происходит за счет привлечения ЛФР, а для выбора окончательной однозначной рекомендации. Основными понятиями метода ПРИНН являются способ учета неопределенности и

н-обобщенные потери. Поясним их содержание.

В процессе формирования рекомендаций в условиях неопределенности на базе метода ПРИНН ЛФР, у предоставляется инфор­мация об эффективности рассматриваемых вариантов рекомендаций при различных реализациях неопределенных факторов (рис. 10.40).

Рис. 10.40. Выбор рекомендаций в условиях неопределен­ности на основе вычисления н-обобщенных потерь

В от­дельных случаях, когда один вариант рекомендации оказывается лучше другого при всех реализациях неопределенных факторов (напри­мер, у3, у4 по сравнению с у2), выбор наилучшей рекомендации не пред­ставляет труда. Однако в общем случае он является трудноразре­шимой проблемой, решаемой целиком на субъективной основе (например, выбор лучшего из вариантов у1, у3, у4). Эта проблема существенно упростилась бы, если бы ЛФР сумело оце­нить эффективность рекомендации у агрегированно на всем множестве неопределенностей, т. е. заменить обобщенные потери f(х, у) как определенную на X функцию от х одним числом F(у), которое выражало бы обобщенные потери для рекомендации у, вычисленные с учетом всего множества неопределенностей X. Такие потери сокращенно будем называть н-обобщенными. Рассчитав н-обобщенные потери, не составляло бы труда указать наилучшую рекомендацию (например, = y3, рис. 10.40):

= F(y).

В практике формирования рекомендаций будем использовать крите­рии-аналоги н-обобщенных потерь. Чаще всего они принимают форму оценок «в среднем», когда

F (у)=, Х={xi}

или «гарантированных оценок»:

F(y) = f(x, у)

(например, средняя дальность полета, коэффициент загрузки са­молета, максимальная грузоподъемность и т. п.).

При любом фиксированном у функция f(х, у) есть функция, заданная на множестве X, поэтому правило, сопоставляющее ей число F(у), является функционалом. Если ЛФР может заранее указать конкретный способ учета неопределенности, т. е. функционал s, то

F(y) = s[f(x, у)],

и формирование рекомендаций сводится к оптимизационной задаче. В этом случае, хотя неопределенность в виде множества X присутствует в конультационном модуле, процесс формирования рекомендаций утрачивает специфические черты, свойственные задачам формирования рекомендаций в условиях не­определенности. В дальнейшем мы будем рассматривать случаи (наиболее характерные для практики формирования рекомендаций), когда изначально невозможно указать единственный адекватный способ учета неопределенности, а можно говорить лишь о том, что объек­тивно существует множество допустимых способов учета неопреде­ленности, обозначаемое далее S. Для описания множества S проще всего было бы предложить ЛФР, у предварительно сфор­мулировать интересующие его способы учета неопределенности, т. е. задать множество S перечислением элементов. В отдельных задачах так и приходится поступать, но как общий метод этот подход не может быть принят, так как он аналогичен перебору вариантов при решении оптимизационных задач.

Можно было бы сформировать множество S из наиболее часто используемых способов учета неопределенности (к ним можно отнести критерии Вальда, Гурвица, Лапласа, Сэвиджа и др., и то лишь в случаях неопределенности критериев), но совершенно неясно, в какой мере эти функционалы, предложенные в разное время разными авторами для решения совершенно различных за­дач, могут отражать интересы ЛФР, а, выполняющего конкретную консультационную операцию.

Предлагаемый способ разрешения указанной проблемы состоит в том, чтобы сочетать со сведениями, получаемыми от ЛФР, а, аксиоматическое описание множества S. При этом система аксиом должна отражать естественные требования, налагаемые на любой разумный способ учета неопределенности. Ясно, что различным системам аксиом будут отвечать различные множества S, поэтому, задавая их, мы уже вносим в процесс формирования рекомендаций долю субъективизма, но, как было установлено выше, в этом прояв­ляется объективная особенность формирования рекомендаций в условиях неопределенности. При этом возможные вредные последствия можно уменьшить за счет выбора наиболее естественной системы аксиом, достаточно хорошо отражающих отношение ЛФР, а к учету неопределенности, а также сохранения за ЛФР, ом возможности дополнительного включения в используе­мое множество S интересующих его способов учета неопределен­ности и исключения излишних.

Далее будет предложена достаточно естественная сис­тема аксиом, при которой доказано, что любой допустимый способ учета неопределенности сводится к вычислению средней оценки по множеству неопределенностей, однако осредняются не исход­ные обобщенные потери, а некоторые другие, вспомогательные потери; результат осреднения пересчитывается из шкалы вспомо­гательных потерь в шкалу исходных обобщенных потерь, задавая тем самым

н-обобщенные потери, соответствующие данному способу учета неопределенности. Пересчет из исходных потерь t во вспомогательные G и обратно производится по «тарировочной кривой» G(t) — порождающей функции, различной для различных способов учета неопределенности. Эта функция непрерывна и строго монотонна, кроме того, G (0) = 0, G (1) = 1 (рис. 10.41). Если известна порождающая функция G(t), то н-обобщенные потери, соответствующие определяемому ею способу учета не­определенности, будем рассчитывать по формуле

Рис. 10.41. Типичный вид порождающей функ­ции, задающей некоторый допустимый спо­соб учета неопределенности

F(y )=G-1 (10.129)

для множества неопределенностей X, состоящего из N элементов xi,

i = 1, ... , N, или

F (y) = G-1 (10.130)

для множества неопределенностей X, являющегося областью меры Ω пространства конечного числа переменных.

В качестве примера рассмотрим три способа учета неопределен­ности А, В и С, заданные соответственно порождающими функ­циями

G = t, G = t2 и G= (рис. 10.42).

Рис. 10.42. Примеры порождающих функций

Первый способ учета характеризуется совпадением вспомогательных и исходных потерь. При способе учета неопределенности В вспомогательные потери меньше исходных, а при способе С — больше. На первый взгляд способы В и С соответствуют более оптимистичному и более пес­симистичному учетам неопределенностей по сравнению со спо­собом А. Чтобы показать, что это не так, воспользуемся рассмат­риваемыми способами для оценки одним числом неопределенности X, принимающей два значения: 0,2 и 0,6. Из соотношения (10.129) следует, что для этого нужно найти аргумент функции G (t), при котором она принимает значение