Консалтология Общая теория консалтинга (стр. 23 )

Известно также, что матрицы отношений можно складывать и умножать как обычные матрицы. Отношения представимы также алгебрами нумероидов.

Нумероидом называют множество А с определенными на нем сложением х+у и умножением ху, если:

1) сложение и умножение суть однозначные операции, при­менимые к любым элементам из А;

2) сложение и умножение ассоциативны и коммутативны:

х+(у +z) = (х + у) + z; х(yz) — (ху) z; х+ у = у + х; ху = ух.

3) сложение имеет хотя бы один нуль, такой, что 0+х= х + 0 = х для всех х из А, а умножение — хотя бы одну еди­ницу, такую, что 1х=1х=х для всех х из А;

4) умножение дистрибутивно относительно сложения:

х (у + z) = ху + хz.

Нумероид называют абсорбентом, если сложение в нем абсорби-тивно по отношению к умножению, т. е., если для х и у из нумеро­идов справедлив закон абсорбции (поглощения) х + ху = х.

Вывод для практики, следующий отсюда, сводится к тому, что, если рассматривается вопрос только лишь о наличии либо отсут­ствии отношений между элементами КП, то все арифметические операции в алгебре отношений должны подчиняться правилам проведения операций в абсорбентах, т. е.

1 + х = 1; 0.x = х.0 — 0; хх = х.

Это справедливо также и потому, что единичный поднумероид (т. е. содержащий только нули и единицы) есть двухэлементная булева алгебра.

Когда в совокупности отношений устанавливается логическое понятие «r влечет S» (или «имеет следствием»), определенное следующим образом: rS, означающее, что из αrβ следует αSβ, то могут потребоваться другие виды исчислений.

Действительно, если некоторые элементы находятся в отноше­нии r, arS, то эти элементы тем более находятся в отношении S.

В этом случае для исследования совокупности отношений можно привлечь одно из экстремальных исчислений, а именно, максимультипликативное. Это исчисление получается, если на множестве неотрицательных действительных чисел положить

Здесь знак «» (крышка) означает, что арифметические опера­ции выполняются в одном из экстремальных исчислений.

Другим экстремальным исчислением, находящим применение, является миниаддитивное. Оно получается, если множество дейст­вительных чисел, включая и бесконечность, положить:

Поскольку все числа, которыми в последующем мы будем опе­рировать, являются положительными, то введенное в рассмотрение миниаддитивное исчисление будет сильным и абсорбентным.

8.14. Анализ структурно-топологических характеристик

Косультирование проблемы начинается с составления структурных схем, которые характеризуются множеством качественных свойств, обусловливаемых множеством элементов КП и связей между ними. Как уже отмечалось, структурная схема КП — это условное графическое изображе­ние элементов КП и связей между ними, которое удобно анализи­ровать с помощью графов. При таком подходе в ряде случаев можно найти адекватные задачи в теории графов, что позволяет восполь­зоваться для решения задач консультирования известными математическими методами.

Граф дает наглядное представление порядка и вида отношений между элементами двух множеств, что еще раз указывает на целе­сообразность его использования для изображения структурных схем КП. При решении одних задач элементам КП можно поставить в соответствие ребра графа, а связям — его вершины; при решении других задач элементам КП ставят в соответствие вершины графа, а связям между ними — ребра. Граф, полученный в первом случае, будем называть реберным, а во втором случде — вершинным. Эти два подхода не исключают друг друга. Даже при исследовании одной и той же проблемы возникает необходимость преобразовывать один граф в другой.

Рассмотрим консультируемую проблему, которую представим структурной схемой, например, производственной системы (рис. 8.15). Наиболее общую модель производственной системы можно получить, если расчленить ее на функциональные подсис­темы. В нашем примере производственная система расчленена на само производство, систему управления производством и обеспече­ние ресурсами производства.

Рис. 8.15. Структурная схема производственной системы

Представим рассматриваемую структурную схему производст­венной системы в форме графа: подсистемы этой системы —- вер­шинами графа, а потоки информации, ресурсов и продукции —-ребрами графа. На рис. 8.16 изображена графовая модель структур­ной схемы рассматриваемой производственной системы.

Рис. 8.16. Граф структурной схе­мы производственной системы

Данный пример иллюстрирует методику построения вершинного графа.

Модели сложных систем, к которым относятся и КП, пред­ставляемые в виде вершинных графов, имеют следующий недоста­ток: как физическое содержание отдельных элементов, так и логи­ческие условия их осуществления объединены в одних и тех же элементах — в вершинах графа. Это обстоятельство чрезвычайно затрудняет анализ, делая его индивидуальным для каждой струк­туры, представленной вершинным графом.

Переход от вершинных графов к реберным дает возможность придать все физические свойства элементов дугам графа, а все логические условия сосредоточить в вершинах. Это существенно упрощает формирование логической структуры КП и позволяет разработать полностью формализованные методы построения струк­турных схем КП с вершинами, в которых могут реализоваться любые логические функции.

Как известно, в теории графов существуют две классические задачи: задача Эйлера о кенингсбергских мостах и задача Гамиль­тона. Задача Эйлера состоит в отыскании путей, проходящих по ребрам графа, а задача Гамильтона состоит в отыскании путей, проходящих по вершинам графа.

Таким образом, задачу Эйлера можно рассматривать как задачу упорядочения дуг реберного графа, а задачу Гамильтона — как задачу упорядочения вершин вершинного графа.

Доказанные Эйлером теоремы позволяют однозначно по виду графа решать вопросы о существовании эйлеровых путей. Для гамильтоновых путей такого критерия не существует. Для боль­шинства таких графов не разработаны даже удовлетворительные алгоритмы, позволяющие установить наличие гамильтоновых путей.

Таким образом, возникает противоречие: анализ сложной проблемы позволяет установить перечень элементов проблемы и опре­делить систему бинарных отношений на множестве этих элементов, т. е. построить матрицу непосредственных путей. Матрица непо­средственных путей всегда позволяет построить ориентированный вершинный граф, анализ которого (т. е. поиск целесообразных путей, проходящих через его вершины) связан с очень большими, иногда непреодолимыми трудностями.

В то же время матрица непосредственных путей в большинстве случаев не позволяет непосредственно построить ориентированный реберный граф, анализ которого в принципе всегда возможен.

Построение реберного графа, эквивалентного вершинному, подчинено более сложным закономерностям. Ниже будут рассмот­рены правила и порядок их использования при построении ребер­ного графа. При этом будем рассматривать только ориентирован­ные графы. Если исходный вершинный граф неориентированный, то его необходимо преобразовать в ориентированный с помощью операции удвоения, когда любой неориентированный путь пред­ставляется парой противоположно ориентированных путей (рис. 8.17).

Рис. 8.17. Преобразование графов

Далее имеющиеся в исходном вершинном графе парал­лельные пути объединяются в один путь на основании правил операций в адсорбентах.

Построим реберный граф, эквивалентный вершинному, восполь­зовавшись графом структуры производственной системы (рис. 8.16).

Объединяя параллельные пути, идущие из третьей вершины в первую, получим преобразованный граф следующего вида (рис. 8.18).

Рис. 8.18. Преобразован­ный граф производствен­ной системы

Запишем для него матрицу отношений:

(8.139)

В пустых клетках здесь и далее будут подразумеваться нули. По матрице (8.139) построим еще две матрицы ||bij|| и ||сij||. Элементы первой из них определим по формуле

(8.140)

где

— суммы единиц по строкам и столбцам матрицы ||aij||; их значения проставлены в круглых скобках в (8.139).

Производя вычисление по (8.140), получим матрицу ||bij|| следую­щего вида:

(8.141)

Элементы матрицы cij вычислим по формуле:

сij = аij (δj/ibij + δi/jbij), (8.142)

где δj/ibij = (bij — min bij)i — превышение суммы полустепеней исхода и захода данного элемента аij=1 в i-й строке по сравнению с элементом, имеющим в этой строке минимальное значение bij≠0; min bij — минимальное по j в i-й строке значение суммы полустепеней захода и исхода для элементов аij = 1; δi/jbij = (bij — min bij)j — превышение суммы полустепеней исхода и захода данного элемента аij = 1 в j-м столбце по сравнению с элементом, имеющим в этой строке минимальное значение bij≠0; min bij — минимальное по i в j-столбце значение суммы полустепе­ней захода и исхода для элементов aij =1.