Консалтология Общая теория консалтинга (стр. 8 )

В целом затраты машинного времени на анализ переход­ных процессов неявными методами существенно зависят от экономичности алгоритмов численного решения конечных уравнений, применяемых на каждом шаге интегрирования. Обычно для решения конечных уравнений используют метод Ньютона, тогда

(8.43)

где b — коэффициент пропорциональности, зависящий в основном от быстродействия используемой ЭВМ; N — показа­тель сложности анализируемого объекта; И, Ш — число ньютоновских итераций на одном шаге и шагов интегриро­вания; α[1, 3] и зависит от свойств выбранного алгоритма решения системы линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) на каждой ньютоновской итерации. Если разрежен­ность матрицы Якоби не учитывается, то α=3 и возможно­сти применения неявных методов ограничиваются задачами сравнительно малой размерности. Поэтому в САК слож­ных консультируемых проблем (таких, как БИС) необходим учет разрежен­ности матриц. При этом α в (8.43) оказывается в интервале [1, 2] и существенно повышает эффективность неявных ме­тодов. Величины И и Ш зависят от особенностей ММ консультируемой проблемы и характера анализируемых процессов.

Явные методы интегрирования целесообразно применять к решению систем ОДУ, представленных в нормальной фор­ме Коши

(8.44)

Тогда отпадает необходимость решения систем конечных уравнений на каждом шаге. Например, подставляя формулу Эйлера

получа­ем явное относительно искомого вектора Vk выражение

(8.45)

(явность этого выражения и послужила причиной названия явных методов интегрирования). Вычисления по (8.45) фак­тически сводятся к расчету правых частей системы ОДУ (8.44) и соответствуют значению α, близкому к единице, в формуле (8.43). Малый объем вычислений на одном шаге и малый объем требующейся оперативной памяти — поло­жительная черта явных методов. Однако в них могут стать недопустимо большими значения Ш. В самом деле, Ш=Tкон/hср, где Tкон — отрезок интегрирования, соизмерим с максимально допустимой постоянной времени τmах; hср — средняя величина шага, из-за соображений устойчивости со­измерима с τmin. Теперь (8.43) принимает вид

Тм ≈bNτmax /τmin.

Очевидно, что явные методы применяются к анализу пе­реходных процессов только в консультируемых проблемах с умеренными значе­ниями Ц=τmax /τmin (обычно при Ц не более 104—105). В то же время в реальных задачах анализа фрагментов сложных консультируемых проблемах значения Ц могут оказаться значительно больше.

Таким образом, сравнение явных и неявных методов ин­тегрирования ОДУ свидетельствует о большей универсаль­ности последних. Поэтому неявные методы являются основ­ными методами анализа переходных процессов в подпроблемах сложных консультируемых проблем. Явные методы могут давать лучшие результаты только в отдельных случаях анализа консультируемых проблем с хорошо обусловленными ММ.

8.4. Выбор метода численного интегрирования

Методы численного интегрирования при анализе динамических свойств консультируемых проблем могут применяться, с одной стороны, непосред­ственно к уравнениям переменных состояния, сформированным для всей консультируемой проблемы, т. е. к модели консультируемой проблемы, а с другой стороны — для алгебраизации реактивных компонентных уравнений при формировании моделей консультируемой проблемы по уравнениям (8.1) и (8.2).

Существует множество различных методов численного интегри­рования систем дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями вида

(8.45)

которые различаются между собой формулами вычисления следую­щего приближения, способами оценки локальной погрешности, стратегией выбора шага (порядка), правилами принятия решения о преемственности решения. При моделировании сложных консультируемых проблем в САК (особенно, когда математические модели имеют сильно разнесенные собствен­ные значения) необходимы мощные методы интегрирования или даже различные комбинации отдельных методов, обеспечивающие автоматический выбор и смену методов (например, явных или не­явных) в процессе решения исследуемой системы дифференциаль­ных или алгебро-дифференциальных уравнений.

Формулы вычисления следующего приближения. Методы инте­грирования можно подразделить на одношаговые (например, Эй­лера, Рунге— Кутта и др.) и многошаговые (прогноза — коррек­ции, Адамса, Гира и др.). Это подразделение определяется коли­чеством информации о предыдущих значениях интегрируемой функ­ции xn-k, хn—k+1, … , хn—1, используемой для нахождения при­ближения хп к точному значению

х (tn) с помощью соответствую­щих разностных формул.

В зависимости от того, используется ли в соответствующих разностных формулах приближения для хп производная

x′n-1= φ (хп-1, tn-1) или х′п= φ (хп, tn), методы численного интегри­рования подразделяются на явные и неявные.

Разбивая интервал интегрирования (t0, T) на отдельные вре­менные участки h=tk — tk-1, k= 1, 2, ..., N и интегрируя вы­ражение (8.45), получаем для некоторого интервала времени tk-q, tk+p

(8.46)

Если заменить φ[х(τ), τ] некоторым интерполяционным поли­номом, принимающим значения хп= φ(хп, tn) на множестве точек tn, то можно получить из соотношения (8.46) различные фор­мулы численного интегрирования.

Применим, например, интерполяционный полином в форме Ньютона, использующий обратные разности высоких порядков,

(8.47)

где

Подставляя полином (8.47) в выражение (8.46), получаем вы­ражение

(8.48)

в котором

Эту же формулу, раскрывая разности высоких порядков, пред­ставляем в виде

(8.49)

где

Различные конкретные формулы численного интегрирования можно получить на основании выражения (8.49), если выбрать значения для р и q (p≥0, q≥0). Например, при р = 1 и q = 0 реализуется известный экстраполяционный явный метод числен­ного интегрирования Адамса — Бэшфорта:

(8.50)

а при р = 0 и q = 1 реализуется интерполяционный неявный метод Адамса—Мултона в виде

(8.51)

который удобней для последующего сравнения с выражением (8.50) переписать следующим образом:

(8.52)

Нетрудно видеть, что при выборе r=0 в формулах (8.50) и (8.52) реализуется соответственно явный и неявный методы Эйлера:

(8.53)

Может показаться, что явный многошаговый метод является самым простым методом с точки зрения вычислений. Однако на практике явные методы используются редко из-за низкой устойчи­вости вычислений, характеризующей накопление погрешности от шага к шагу. Для заданного числа r неявный метод (8.52) является в принципе более точным, чем явный метод (8.50). Кроме того, в явных методах значение шага h должно быть гораздо меньше, чем в неявных методах (вследствие абсолютной устойчи­вости последних).

Рассмотрим теперь практический подход к реализации неяв­ных методов. На основании выражений (8.52) и (8.45) можно полу­чить нелинейное алгебраическое уравнение, которое необходимо решить для нахождения хk+1:

(8.54)

Если воспользоваться методом Ньютона, то получим

(8.55)

где

(8.56)

где Jmk+1 — матрица Якоби для решаемой системы уравнений (8.45). В качестве начального приближения x(0)k+1 удобно выбирать значение вектора переменных, предсказанное с помощью формулы явного метода (8.50). Тогда весь комбинированный процесс исполь­зования формул (8.50) и (8.52) называют методом предсказания коррекции, в котором явный метод вычислений по формуле (8.50) называют предсказывающим, а неявный метод вычислений по фор­муле (8.52) — корректирующим. Очевидно, что решение нелиней­ного алгебраического уравнения (8.53) можно заменить многократ­ной последовательной оценкой xk+1 по формуле (8.52) с учетом начального значения, определенного по уравнению (8.50), до тех пор, пока не будет достигнута сходимость, т. е. последовательные итерации не станут достаточно близкими друг к другу, при этом

(8.57)

Но и по точности, и по вычислительным затратам в таких слу­чаях, как правило, ощущаются потери.