Консалтология Общая теория консалтинга (стр. 75 )

Заметим, что условия (10.108) будут выполняться, если

Zi (i = 1, 2,…, N— 1) таковы, что:

1) функция Fi(xi, yi, zвi) является мажорантой семейств функ­ций

Fi+к(xi, yi, yi+1, ..., уi+к, zi+к); уi+l i+l ; l = 1, 2, ..., к, zi+к Zi+к, каждое из которых определяется при различных к [1, N — i], т. е.

Fi(xi, yi, zвi) ≥F Dii+к (xi, yi, yi+1,..., yi+к, zi+к ) (10.109)

при уi+l i+l; l=1,2, ..., к; zi+к Zi+к, где F Dii+к— проекция на плоскость с координатами — компонентами вектора {yi, Fi} семейства функций Fi+к (xi, yi, yi+1, ..., yi+к, zi+к) при yi+l i+l (l = 1, 2, ..., к);

2) функция Fi(xi, yi, zнi ) является минорантой этих же се­мейств, т. е.

Fi(xi, yi, zнi )≤ F Dii+к (xi, yi, yi+1,..., yi+к, zi+к ) (10.110)

при l= 1, 2, .... к; zi+к Zi+к .

Выполнение формальных условий (10.109), (10.10) обеспечивает на­личие в Zi значений, соответствующих каждому элементу из i+к, т. е. выполнение требуемого соответствия (10.107). Эти же

условия могут быть записаны в следующем виде:

Fi(xi, yi, zвi )≥ F Dii+к (xi+к, , yi+к, zвi+к ), к = 1, 2, ..., N—1 (10.111)

Fi(xi, yi, zнi )≤ F Dii+к (xi+к, yi+к, zнi+к), к = 1, 2, ..., N—1 (10.112)

Как уже отмечалось, не столь важным является знание самих множеств

Zi (i = 1, 2, ..., N — 1), сколько функций Fi (xi , yi, zнi) и Fi (xi, yi, zвi), определяемых значениями zнi и zвi. При­чем Fi (xi, yi, zвi) используются лишь при определении первого приближения и даже здесь может быть заменено любым реально достижимым значением критерия. Поэтому определение Zi в об­щем случае может быть заменено нахождением значений zнi, задающих функцию нижних границ Fi (xi , yi, zнi).

Функции Fi (xi , yi, zнi) при yi i определяются, с одной стороны, условиями минорирования F Dii+к(xi, yi, yi+1,..., уi+к, zнi+к), к=1,2,....,N - i при yi+к i+к (к =0, 1, ..., i - 1), а с другой, — условиями максимального приближения к минорируемым функциям. В соответствии с этими условиями zнi могут быть определены из решения следующей задачи:

V(A*, Fi(xi, yi, zi), i), i=1, 2, .... N-1, (10.113)

здесь

V(A*, Fi(xi, yi, zi), i) = ∫ (A*- Fi (xi, yi, zi)) dyi; (10.114)

yi i

Z*i ={zi:Fi (xi, yi, zi) ≤ F Dii+к (xi , yi, yi+1,..., yi+к, zi+к ); (10.115)

yi+l i+l ; l = 0,1, ...,к; к = 1, 2, .... N-i},

i = l, 2, ..., N-1,

где А* — произвольная константа, удовлетворяющая условию:

A*≥mах Fi(xi, yi, zнi).

yi i

Учитывая выражение (10.112), условия (10.115) могут быть запи­саны в виде:

Z*i ={ zнi:Fi (xi, yi, zнi) ≤ F Dii+1(xi , yi, yi+1, zнi+1 ); (10.116)

yj j; j = i, i+1}, i = l, 2, ..., N-1.

Введем в рассмотрение функцию

i (xi , yi, zi+1)= min F Dii+1(xi , yi, yi+1, zнi+1 ); (10.117)

yi+1 i+1

после чего условия (10.116) можно представить так:

Z*i ={ zнi:Fi (xi, yi, zнi) ≤ (xi, yi, zi+1)}, i = l, 2, ..... N-1.

C введением данной функции условия (10.112) могут быть записаны в следующем виде:

i(xi , yi, zi+1 )≤i+1(xi+к, yi+к , zi+к+1), (10.118)

i = 1, 2, .... N- 1; к= 1, 2, .... N-i.

Приведенные выше условия решения задачи определения зна­чений zнi (i = 1, 2, ... , N — 1) требуют знания функции (xi, yi, zi+к ), каждая точка на которой является результатом решения задачи определения i+1 из условий минимизации функции F i+1(xi, yi, yi+1, zi+1 ), т. е. задачи на модели (i + 1)-го уровня при некоторых фиксированных уi. Следует отметить, что опреде­ление i может быть произведено на той же модели, т. е. путем одновременной минимизации Fi+1 (xi, уi, yi+1, zi+1) no yi и yi+1. Это, однако, связано с практическим совмещением реше­ния задач двух уровней, что нежелательно. Отсюда следует вывод о необходимости минимизации числа необходимых вычислений

i+1 (xi, уi, zi+1) при построении zнi. Число таких вычислений должно быть меньше, чем требуется для определения i из мини­мизации

i+1 (xi, уi, yi+1, zi+1) по уi.

Точки, в которых производятся вычисления функции

i+1(xi, уi, zi+1) обозначим через i, а множество таких точек — через i. Причем, с какой бы частотой не располагались точки i на i никогда нет уверенности в том, что в некоторых из них, на­пример, для функции Fi (xi, yi, zнi), значения zнi которой определяются из выражения (10.113) при