Консалтология Общая теория консалтинга (стр. 6 )

Собственно выбор метода основан на установлении взаимосвязи между факторами и характеристиками ис­пользуемых ЭВМ, с одной стороны, и такими показателя­ми эффективности применения метода, как время решения, вероятность получения правильного результата и его точность, с другой стороны.

Рассмотрим, как устанавливаются подобные взаимо­связи для основных методов решения АУ. Для этих ме­тодов

Тм = пγИ/Б,

где Тм — затраты машинного времени; п — порядок реша­емой системы АУ, принимаемый за оценку сложности задачи; γ — среднее число арифметических операций, приходящихся на единицу сложности задачи, на одной итерации; И — среднее число итераций.

Для решения системы линейных алгебраических урав­нений (ЛАУ) вида AV=B выбирают либо метод Гаусса, либо итерационные методы.

Для метода Гаусса И=1, и если не учитывать разре­женность матрицы коэффициентов А, то γ≈2(п2/3 + 2п). Неучет разреженности ограничивает целесообразность при­менения метода Гаусса решением задач только невысокой размерности. При п>50 учет разреженности становится необходимым. Для метода Гаусса при учете разреженности и оптимальном упорядочении строк и столбцов матрицы А в задачах консультируемых проблем имеем γ= const. Так, для моделей переключательных электронных схем γ≈25, а для распределенных моделей с трехдиагональной матрицей коэффициентов при применении метода прогонки γ≈8.

Для решения систем ЛАУ итерационными методами с учетом разреженности матрицы коэффициентов имеем И>1, a γ=2Qn, где

Q = 1—S — насыщенность матрицы. Так как Q = K/n, где К — среднее арифметическое для числа ненулевых элементов в одной строке матрицы А, то γ=2K. Так, для моделей переключательных электрон­ных схем получаем по результатам статистических иссле­дований γ≈7,8, т. е. одна итерация выполняется быстрее, чем по методу Гаусса. Однако из-за того, что И 1, ите­рационные методы по показателю Тм практически всегда проигрывают методу Гаусса.

Решение систем нелинейных АУ выполняется итераци­онными методами, при этом на требуемое число итераций И в методе Ньютона решающее влияние оказывает выбор начального приближения, а в остальных итерационных методах — число обусловленности Ц матрицы Якоби ре­шаемой системы уравнений.

В методе Ньютона, применяемом в рамках методов ус­тановления или продолжения решения по параметру, обычно И не превышает трех. В случаях, если И превышает не­который порог Ипр (например, Ипр=7), лучше уменьшать значения коэффициентов, управляющих процессом установ­ления, чем продолжать итерации при И>Ипр. Следует отметить, что при решении нелинейных АУ величина γ рас­тет, так как при ее подсчете должны быть учтены затраты на вычисление элементов матрицы Якоби.

В методе простых итераций И может достигать непри­емлемо больших значений, поэтому целесообразно ввести на И ограничение Игр сверху. Если принять Игр= 1,5·104, то из соотношения

Игр = — 0,5 Ц lgε при ε= 10-3 получаем, что метод простых итераций можно применять только к решению системы уравнений, у которых матрица Якоби имеет Ц<104. Методы Зейделя, Якоби, последовательной верхней релаксации (ПВР) имеют аналогичный характер зависимости И от Ц, хотя скорость сходимости у них ча­сто оказывается несколько выше, чем в методе простых итераций.

Экономичность метода решения систем АУ определя­ется также затратами оперативной памяти. При неучете разреженности только на хранение матрицы Якоби нужно п2 ячеек памяти. Поэтому если для одного слова использу­ется 8 байт, то при п=100 для хранения требуется 80 кбайт, а при п=500 — уже 2 Мбайт. Итак, подтверждается вы­вод о необходимости учета разреженности при решении задач с n>nnp, где nnp зависит от характеристик исполь­зуемой ЭВМ и, как правило, составляет несколько десят­ков. В задачах анализа распределенных моделей, в кото­рых п может превышать 104, экономичность метода по затратам машинной памяти становится одной из важ­нейших характеристик. В таких случаях применяют либо релаксационные методы, либо метод Ньютона с использо­ванием на каждой итерации метода Гаусса, но в рамках рассматриваемого ниже диакоптического подхода.

На точность решения задачи оказывают влияние зада­ваемые консультантом в исходных данных значения допу­стимых погрешностей ε1 или ε2, а также обусловленность модели. Однако задаваемые значения ε1 или ε2 могут во­обще оказаться недостижимыми или из-за несходимости, или из-за слишком медленной сходимости вычислительного процесса. Поэтому если создаваемый ППП ориентирован на решение систем уравнений с широким диапазоном зна­чений Ц, то нужно принимать специальные меры по обес­печению точности решения. При реализации метода Гаусса нужно перейти к представлению чисел в ЭВМ с повышен­ной разрядностью (например, с удвоенной разрядностью), в случае метода простых итераций — к уменьшению шага h.

Надежность применения метода определяется не только фактом принципиальной сходимости к корню, но и тем, ка­ковы затраты времени Тм на получение решения с требуе­мой точностью. Ненадежность итерационных методов про­является либо при неудачном выборе начального прибли­жения к корню (метод Ньютона), либо при плохой обусловленности задачи (методы релаксационные и про­стых итераций), либо при повышенных требованиях к точ­ности решения (метод простых итераций), либо при высокой размерности задач (метод Гаусса при неучете разре­женности). Поэтому при создании узкоспециализированных программ необходимы предварительный анализ особенно­стей ММ заданного класса задач (значений п, Ц, допусти­мых погрешностей) и соответствующий выбор конкретного метода. При создании ППП с широким спектром решаемых задач необходима реализация средств автоматической адаптации метода решения к конкретным условиям. Такая адаптация в современных ППП чаще всего применяется в рамках методов установления или продолжения решения по параметру.

8.3. Метод анализа переходных процессов

Классификация методов численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Методы численного интегрирования ОДУ являют­ся методами преобразования дифференциальных уравне­ний в алгебраические. После дискретизации независимой переменной t система ОДУ

в каждой точке tk этой переменной представляется в виде системы п алгебраических уравнений

(8.33)

с 2п неизвестными Система (8.33) доопределяется уравнениями

(8.34)

задаваемыми выбранным методом численного интегриро­вания. Система алгебраических уравнений (8.33), (8.34) ре­шается в каждой точке tk, k=1, 2, .... Ш, где Ш — число точек дискретизации (шагов интегрирования).

Формулу численного интегрирования (8.34), в которой в качестве неизвестных величин фигурируют и , и со­ответствующие этой формуле методы интегрирования на­зывают неявными. В неявных формулах кроме и мо­гут присутствовать значения переменных и (или) V в р предыдущих точках дискретизации tk-і, i=1, 2, ..., р. При р≥2 метод интегрирования называют многошаговым. Сле­дует отметить, что к моменту решения системы (8.34), (8.35) значения и для і≥l, фигурирующие в (8.35), уже вычислены на предыдущих шагах. Название метода «мно­гошаговый» происходит из-за использования в формуле интегрирования результатов нескольких предыдущих ша­гов. Величину р при этом называют порядком многошаго­вого метода. Вместо или , і≥2, в формуле интег­рирования могут присутствовать производные V по t порядка выше первого или заменяющие их результаты неко­торых дополнительных вычислений на данном шаге. В этом случае метод называется одношаговым, а порядок одношагового метода совпадает с порядком старшей из используе­мых производных.

Систему алгебраических уравнений, решаемых на каж­дом шаге численного интегрирования, можно записать так­же в следующем виде:

(8.35)

(8.36)

где и — неизвестные величины; Vk-1 вычислены на предыдущем шаге.

Формулу численного интегрирования (8.36) и соответст­вующие ей методы интегрирования называют явными. Яв­ные методы по аналогии с неявными могут быть одно - и многошаговыми, аналогично определяются порядки явных методов.

Очевидно, что необязательно на каждом шаге интегри­рования численно решать систему из 2п конечных уравне­ний. В большинстве случаев выполняют предварительное исключение неизвестного вектора из (8.33) или из (8.35) с помощью формул интегрирования (8.34) или (8.36) в общем виде и на каждом шаге численно решают систе­му п уравнений с неизвестным вектором .