Консалтология Общая теория консалтинга (стр. 31 )

Поэтому для решения консультационных задач оптимизации при консультировании проблем с дискретными значениями параметров методы оптимизации непрерывных объектов непосредствен­но неприменимы. Эти задачи относятся к задачам диск­ретного программирования. Если при оптимиза­ции часть параметров дискретна, а часть имеет непрерыв­ный характер, то задача должна решаться методами частично дискретного программирования. Из-за недиффе­ренцируемости выходных параметров в задачах дискретного программирования довольно часто возникают трудности при вычислениях.

Рассмотрим пример задачи параметри­ческого синтеза.

Пример 6.5. Формирование рекомендаций на проектирование трехстержиевой фермы. Цель проектирования — выбор конструкции трехстержневой фермы (рис. 9.2) мини­мальной массы.

Рис. 9.2. Трехстержневая ферма

Проектирование сво­дится к выбору площадей попереч­ных сечений отдельных стержней х1, х2 и х3 (переменные проектирова­ния), так чтобы ферма была по воз­можности легкой и удовлетворялись ограничения на напряжение, устой­чивость при продольном изгибе, сме­щение и размеры стержней.

Целевая функция F(X) представляет собой массу конструкции (при θ = 45°):

(9.27)

где pg — плотность материала, из которого изготовлена ферма.

Горизонтальное и вертикальное смещения z1 и z2 общего узла по­лучены из линейных соотношений теории упругости. Для данной кон­струкции эти уравнения имеют вид

K(х)Z — S = 0, (9.28)

гдe Z=[z1, z2]T;

(9.29)

— положительно определенная матрица жесткости и вектор нагрузки соответственно; Е — модуль Юнга; θ —угол приложения нагрузки, от­считываемый от горизонтали.

Вычисляя деформации ε в зависимости от смещения узла и приме­няя закон Гука, найдем напряжение в каждом стержне:

(9.30)

С помощью допустимых напряжений

определенных для каждого стержня, ограничения на напряжения примут вид

(9.31)

(9.32)

(9.33)

Чтобы наложить ограничения по устойчивости, необходимо задать вид зависимости момента инерции от площади поперечного сечения для каждого стержня. Общей при инженерных расчетах является зависи­мость вида I=βх2, где β— безразмерная постоянная. Подобная зави­симость получается, если зафиксировать форму поперечного сечения и все его размеры менять в одинаковой пропорции. Осевые усилия имеют вид Фi=σixi, i=1,2,3, растяжения стержней считаются положительными. Ограничения по устойчивости имеют вид

(9.34)

Используя равенства (9.28), можно записать:

(9.35)

Ограничения на смещения могут быть сформулированы в виде

(9.36)

где z1(0) и z2(0)—заданные верхние границы для z1 и z2 соответственно. Наконец, требуется, чтобы площади поперечных сечений были неот­рицательны, так что следует наложить ограничения

— x1 ≤ 0, — х2 ≤0, — х3 ≤0. (9.37)

Теперь задачу проектирования можно рассматривать как задачу выбора таких переменных проектирования х1, х2 и х3, которые минимизируют F(X) и удовлетворяют ограничениям (9.28), (9.31) — (6.37).

Заметим, что смещения z1 и z2 играют в данной формулировке важ­ную роль. Их определяют из уравнения для конструкции (9.28), коль скоро заданы переменные проектирования. Эти переменные представ­ляют собой отклик системы на приложенную нагрузку, их называют переменными состояния, а уравнения (9.28) — уравнениями состояния.

9.3. Разновидности консультационных задач оптимизации

В задачах оптимального формирования рекомендаций по решению задач консультируемых проблем вектор переменных консультирования X = {х1,... ...,хп) выбирают в результате определения экстремума це­левой функции F(X) в допустимой области, заданной систе­мой ограничений на параметры консультируемой проблемы. В самом общем виде целевая функция и ограничения являют­ся нелинейными функциями переменных консультирования X.

Задачи, в которых экстремум ищут в пределах неогра­ниченного пространства переменных консультирования, отно­сятся к задачам безусловной оптимизации. Най­денные при чтом экстремумы называют безусловными. На­личие ограничений любого вида приводит к задачам условной оптимизации, решение которых дает ус­ловный экстремум.

При решении задач оптимизации первоначально прове­ряют условия, которым должен удовлетворять вектор пере­менных консультирования X, минимизирующий (максимизи­рующий) критерий качества F(X). Эти условия проверяют для отыскания стационарных точек, среди которых находит­ся искомый вектор X.

Функция F(X), определенная в Ет, имеет абсолютный минимум в Х*Ет, если

F(X*)≤F(X) (9.38)

для всех ХЕт. Минимум является строгим, если в (9.38) стоит знак строгого неравенства для Х≠Х*.

Функция F(X) имеет в X* относительный минимум, если существует ε>0 такое, что для любой точки ХSε(X*) вы­полняется неравенство

F(X)- F(X*)>0, (9.39)

где Sε(X*) —окрестность точки X*. При определении мак­симума F(X) (9.39) должно быть заменено на неравенство

F(X)— F(X*)<0.

Еели F(X) имеет в точке X* абсолютный минимум, то эта функция имеет там также и относительный минимум. Обратное не обязательно верно. Часто относительный мини­мум называют локальным, а абсолютный минимум — гло­бальным.

Рассмотрим необходимые и достаточные условия экст­ремума. Классические методы оптимизации используют то­гда, когда известно аналитическое выражение функции F(X) и известно, что она по крайней мере дважды диффе­ренцируема по переменным консультирования. Тогда для оп­ределения экстремума будем использовать необходимые и достаточ­ные условия безусловного экстремума. Эти условия легко получить с помощью разложения F(X) в окрестностях экст­ремальной точки X* в ряд Тейлора:

(9.40)

Если X* — точка максимума, то линейные члены в (9.40) равны нулю, тогда равны нулю составляющие век­тора—градиента функции F(X). Следовательно, необ­ходимым условием экстремума является условие

grad F(X) = 0,

где

Все точки, где выполняется это условие, называются стационарными.

Достаточное условие максимума на основании (9.39) и (9.40) заключается в том, что сумма членов со вторыми частными производными должна быть отрица­тельной при любых ХSε(X*), т. е.

(∆Х)ТГ(∆Х)<0, (9.41)

где ∆Х =Х—X* — вектор-столбец; ((∆ХТ=(X—Х*)Т — вектор-строка);

— матрица Гессе; Т — знак транспонирования матрицы.

Условие (9.41) есть достаточное условие максимума. Матрицу Г, удовлетворяющую условию (9.41) при любых ∆Х, называют отрицательно определенной, а в случае (∆Х)тГ(∆Х)>0 для любых ∆Х — положительно опреде­ленной. Поэтому достаточные условия экстремума можно представить как требование отрицательной определенности матрицы Гессе для максимума или положительной опре­деленности для минимума в экстремальной точке.

Если достаточные условия не выполняются, то имеем не экстремальную, а седловую точку.

При наличии ограничений на переменные консультирования X решение задачи оптимизации ищут в некоторой до­пустимой области S согласно следующему направляющему принципу. Если F(x1...,xm) является функцией нескольких переменных, определенных на допустимой области S, то максимальное значение F(X), если оно существует, дости­гается в одной или более точках, которые могут принад­лежать следующим множествам:

К1 = {( х1,...,хт) | (х1,...,хт) —точка в области S, в кото­рой функция F стационарна};

К2={( х1,...,хт) | (х1,...,хт)— точка границы области S};

К3={(х1,...,хт) | —функция F(X) не дифференцируе­ма в точке (х1,...,хт)}.

На рис. 9.3 приведен пример геометрической интерпре­тации многоэкстремальной задачи оптимального консультирования.