Консалтология Общая теория консалтинга (стр. 2 )

Точность. Погрешности решения задачи определяются особенноегями используемых моделей, численных методов, ограниченностью разрядной сетки ЭВМ. Каждый источник погрешности должен контролироваться, с тем чтобы по­грешности не превысили предельно допустимые. Обычно точность результатов, получаемых с помощью численного метода, зависит от некоторых параметров, выбираемых «по умолчанию» или задаваемых среди исходных данных. С помощью этих параметров можно управлять погрешно­стями решения, но необходимо помнить, что снижение по­грешностей возможно лишь до некоторого отличного от нуля предела и, как правило, сопровождается увеличением затрат машинного времени. Целесообразно в математичес­ком обеспечении САК иметь не один, а несколько мето­дов одинакового целевого назначения, но с различными возможностями компромиссного удовлетворения противо­речивых требований точности и экономичности.

Пользователь САК должен также знать, что явления зацикливания вычислений или переполнения разрядной сетки могут происходить не только из-за недостатков вы­бранного численного метода, но и из-за ошибок в задании исходных данных. Некоторые ошибки, связанные с нару­шением формальных правил грамматики входного языка, распознаются автоматически. Однако ряд ошибок не мо­жет быть выявлен формальными средствами без участия пользователя. Примерами таких ошибок могут быть ошиб­ки в задании численных значений параметров или в зада­нии соединений в анализируемой схеме. Если эти ошибки приводят к получению модели самовозбуждающейся схемы, то возможны явления зацикливания и переполнения раз­рядной сетки.

Направления повышения эффективности методов ана­лиза. Высокие размерности задач консультирования, необ­ходимость выполнения многих вариантов решения систем уравнений при формировании рекомендаций для решения задач сложных консультируемых проблем обусловливают большие затраты вычислительных ресурсов. Поэтому повышение экономич­ности методов анализа при соблюдении требований точно­сти является актуальной задачей создания и совершенствования математического обеспечения САК. Эта задача решается на основе идей и методов, группируемых в не­сколько направлений.

Декомпозиция—деление модели консультируемой проблемы на части и раздельный анализ получающихся частей. Если Тм=сNα, то после деления модели на т равных час­тей затраты машинного времени приближенно оцениваются величиной ст(N/m)α, т. е. уменьшаются в q≈тα-1 раз. Однако раздельный анализ происходит в условиях приня­тия упрощающих предположений о взаимном влиянии ча­стей, т. е. сопровождается увеличением погрешностей рас­четов. Декомпозиция составляет основу блочно-иерархического подхода к консультированию. Это направление предлагается широко использовать как в автоматизированных, так и в неавтома­тизированных методах консультировани.

Диакоптика — направление исследования сложных консультируемых проблем по частям, отличающееся от декомпозиции тем, что раздельный анализ осуществляется без упрощающих пред­положений о влиянии частей друг на друга. Экономичность диакоптических методов соизмерима с экономичностью обычных декомпозиционных методов, а точность выше.

Учет разреженности матриц — направление экономич­ной организации операций над разреженными матрицами. Матрицу называют разреженной, если в ней преобладают нулевые элементы. Отказ от хранения нулевых элементов и реализация алгоритмов, в которых игнорируются ариф­метические действия над нулевыми элементами, могут дать значительную экономию Тм и Пм.

Учет событийности — направление, называемое также учетом временной разреженности моделей и основанное на исключении из вычислительного процесса действий над не­активными переменными. Неактивной на интервале [t, t+∆t] переменной называют величину, изменения которой на этом интервале не превышают достаточно малого за­ранее заданного значения. В моделях сложных консультируемых проблем в каждый момент модельного времени большинство пере­менных неактивно. Моделирование, основанное на учете событийности, принято называть событийным моделирова­нием. В алгоритмах событийного моделирования необхо­димо реализовать критерии своевременного включения пе­ременных и соответствующих им частей моделей в группу неактивных (латентных) и своевременного их исключения из этой группы.

Комбинирование моделей и методов — одновременное использование при решении конкретной задачи нескольких разнотипных моделей или методов анализа одинакового целевого назначения. Комбинирование может быть прост­ранственным, если разнотипные модели или методы при­меняют в разных частях общей модели, или временным, если их применяют на разных этапах вычислительного про­цесса. Пространственное комбинирование является част­ным случаем диакоптического подхода, так как подразу­мевает разделение модели на части (фрагменты). Повы­шение эффективности при комбинировании моделей и методов основано на использовании наиболее подходящих моделей и методов для данного фрагмента и данного эта­па вычислений. Пространственное комбинирование моде­лей, относящихся к разным иерархическим уровням, назы­вают многоуровневым (или смешанным) моделированием.

8.2. Анализ статических и динамических режимов

В общем случае математическая модель консультируемой прблемы представляет собой совместную систему нелинейных дифференциально-алгебраи­ческих уравнений вида

F(x′, х, t) = 0, (8.1)

где х — вектор переменных модели; F — вектор-функция.

Методы решения системы (8.1), обеспечивающие получение ди­намических и статических характеристик консультируемой прблемы, состоят из про­цедур численного интегрирования систем обыкновенных дифферен­циальных уравнений и процедур решения систем нелинейных алгебраических уравнений. Естественно, что выбор конкретных ме­тодов решения для каждой из этих процедур обусловливает одно­значно вид формул алгебраизации и линеаризации компонентных соотношений.

Осуществляя алгебраизацию компонентных уравнений, содер­жащих производные по времени, с помощью выражений, анало­гичных уравнениям (6.44)—(6.45), преобразуем исходную систему уравнений (8.1) в систему нелинейных алгебраических уравнений

F(xn+1, tn+1) = 0. (8.2)

Следует отметить, что уравнения (8.2) используются для опи­сания статических режимов консультируемой прблемы в целом

F(x, t) = 0. (8.3)

Однако в выражении (8.2) вид функционала F зависит от интервала времени решения, в результате чего это выражение ре­шается на каждом временном шаге. Следовательно, задача опре­деления динамического режима консультируемой проблемы сводится к многократной процедуре нахождения ее квазистатических состояний для каж­дого интервала времени, на которых проводится алгебраизация инерционных компонентных соотношений. Полный процесс совме­стного решения системы нелинейных дифференциально-алгебраи­ческих уравнений состоит из следующих операций.

1. Выбор временного интервала (tn = tn-1+h).

2. Алгебраизация реактивных компонентных уравнений.

3. Формирование системы нелинейных алгебраических урав­нений.

4. Решение системы нелинейных алгебраических уравнений.

5. Проверка погрешности решения.

6. Получение результата.

В свою очередь, нелинейное алгебраическое уравнение типа (8.3) или (8.2) решается итерационно, например, с помощью ме­тода Ньютона — Рафсона, при этом

(8.4)

где

—матрица Якоби; т — номер текущей итерации (т = 0 соответствует некоторое начальное значение х0п+1). Матрица Якоби, определяемая при линеаризации компонент­ных зависимостей членами с первыми производными ряда Тейлора, аналогична выражению (6.41):

(8.5)

и совпадает по форме с матрицами математических моделей консультируемой проблемы, рассмотренных в разделе 6.

Подставляя уравнение (8.5) в выражение (8.4), находим

(8.6)

где

Таким образом, система линейных уравнений (8.6) итеративно решается до тех пор, пока максимальная погрешность составляю­щих вектора переменных х становится меньше заданной, т. е.

(8.7)

Полный процесс решения нелинейных алгебраических уравне­ний состоит из следующих операций.

1. Выбор начального значения хiп+1.

2. Линеаризация нелинейных компонентов.

3. Формирование системы линейных алгебраических уравнений.

4. Решение системы линейных алгебраических уравнений.

5. Сравнение решения и начального значения.

6. Получение результата.

Следовательно, анализ уравнений модели консультируемой проблемы, по суще­ству, сводится к многократному (сотни, а иногда тысячи раз) ре­шению системы линейных алгебраических уравнений (8.6), в кото­ром выделяются два цикла:

1) внешний цикл временных итераций по индексу п, когда корректируются аппроксимации для произ­водных по времени от переменных модели;

2) внутренний цикл итераций по индексу т, когда на каждом выбранном временном интервале с помощью метода Ньютона уточняется линейная аппро­ксимация нелинейных переменных модели. Внутренний цикл реше­ния по индексу т имеет самостоятельное значение при анализе статических режимов работы.