Консалтология Общая теория консалтинга (стр. 4 )

При упорядочении уравнений модели консультируемой проблемы обычно трудно обеспечить выполнение условий вычислительной устойчивости, свя­занных с выбором для каждого шага LU-преобразования в каче­стве главного элемента наибольшего по абсолютному значению элемента некоторого столбца (строки) из непреобразованной еще части матрицы А. Это объясняется, с одной стороны, противоре­чивостью требований сохранения разреженности матрицы А и ус­ловий вычислительной устойчивости и, с другой стороны, слож­ностью предварительной оценки величин, изменяющихся в процессе вычислений элементов матрицы. Поэтому на практике ограничи­ваются контролем величины главных элементов упорядоченной системы уравнений, стремясь обеспечить, чтобы все выбранные в качестве главных элементы были больше некоторого минимально допустимого для них значения. При этом на каждом шаге упорядочения выделяемый согласно уравнению (8.18) элемент про­веряется на малость по величине. Если величина элемента больше допустимого минимального значения, то он выбирается в качестве главного, в противном случае поиск продолжается. При упорядочении уравнений модели консультируемой проблемы учитываются осо­бенности уравнений. Например, уравнения модели ОМ20 по методу узловых величин, частично ГМ10 (таблично-узловой модели) и дру­гих характеризуются тем, что элементы главной диагонали матриц их коэффициентов доминируют по величине в своих строках. По­этому в процессе упорядочения при выборе главных элементов даже при равных весах ωij предпочтение целесообразно отдать диагональным элементам этих матриц.

Способы повышения эффективности решения. При многократ­ном решении уравнений (8.11) наряду с использованием их разре­женности важно учесть также различия в частоте изменения эле­ментов матриц решаемых уравнений. Коэффициенты уравнений консультируемой проблемы образуются из вкладов нелинейных, реактивных и постоян­ных его компонентов, а также величин ±1. Величины вкладов в матрицу А системы (8.11) всех нелинейных компонентов изме­няются при решении уравнений консультируемой проблемы чаще (они переоценивают­ся на каждой итерации Ньютона), чем вклады линейных реактивностей (на каждом временном шаге), а вклады постоянных компо­нентов остаются неизменными до завершения анализа данного варианта решения. Учет характера компонентов консультируемой проблемы, участвую­щих в образовании элементов матрицы А, дает возможность про­гнозировать частоту их изменения и учитывать эту информацию на всех этапах обработки уравнений модели. При этом каждому ненулевому элементу матрицы А соответствует некоторое целое число, характеризующее его тип: 1, 2 — для элементов ±1 соот­ветственно; 3 — для постоянного элемента; 4 — для элемента, ве­личина которого изменяется во времени; 5 — для нелинейного эле­мента, зависящего от составляющих вектора переменных модели объекта.

Учитывая распределение НЭ системы уравнений (8.11) по ти­пам, можно представить процесс ее решения с помощью соотноше­ний (8.12)—(8.17) в виде последовательности вложенных циклов так, что элементы высших типов обрабатываются на внутренних циклах. При этом LU-преобразование матрицы уравнений объекта разделяется на несколько этапов в соответствии с пред­ставлением выражения (8.11) в виде:

(8.19)

где g, αМ, ∂f/∂x — векторы мгновенных вкладов в матрицу схемы соответственно постоянных, реактивных и нелинейных компоненгов; Ас, Ат, Ax — матрицы связи векторов мгновенных вкладов с элементами матрицы уравнений консультируемой проблемы; bс, bт, bx — составляю­щие правой части уравнения, соответствующие постоянным, реак­тивным и нелинейным компонентам.

Вначале выполняется однократное для данного варианта реше­ния исключение постоянных элементов матрицы A (LU — const), затем многократно повторяемое исключение изменяющихся эле­ментов

(LU=var), которое включает два подэтапа LU—Т и LU—X, соответствующих исключению элементов типов 4 и 5. Этап LU — Т выполняется на каждом временном шаге только один раз, a LU — X повторяется после каждой переоценки нели­нейных компонентов консультируемой проблемы. По аналогии прямой ход решения системы уравнений (8.16) разбивается с учетом типов элементов вектора b на этапы, соответствующие учету постоянных (ПХ — С), зависящих от времени (ПХ — Т) и нелинейных (ПХ — X) элемен­тов вектора b, а обратный ход (8.17) выполняется, как правило, полностью на каждой итерации решения системы (8.6) или (8.11). Учет частоты изменения элементов математических моделей иссле­дуемых консультируемых проблем оказывает влияние на используемую стратегию упорядочения, так как становится выгодным минимизировать при упорядочении количество ННЭ и ИНЭ высших типов. Поэтому в процессе упорядочения строкам и столбцам матрицы уравнений консультируемой проблемы, среди которых ищется главный элемент, также присваи­ваются типы (они определяются максимальными типами элемен­тов, находящихся в этих строках и столбцах). Тогда среди не­скольких элементов матрицы, удовлетворяющих критерию (8.18) и проверке на малость по абсолютной величине, в качестве глав­ного выбирается тот элемент, строка и столбец которого имеют минимальный тип.

Повысить скорость процедуры решения разреженных систем уравнений (8.11), кроме вышеописанного разбиения на отдельные этапы в соответствии с частотой изменения НЭ, можно примене­нием метода кодирования формул (МКФ) и метода генерации про­грамм решения (ГПР). Сущность МКФ заключается в пред­ставлении процесса LU-преобразования матрицы уравнений консультируемой проблемы и решения системы LUx=b в виде последовательности вычис­лений, выполняемых по введенным заранее типам формул (опре­деленным аналитическим выражениям). Тип каждой из формул и координаты НЭ из «позиционного» списка NR распола­гаются последовательно в специальном целочисленном массиве ICF. Тогда для выполнения какого-то этапа решения системы (8.11) необходимо просмотреть соответствующий участок массива ICF и выполнить вычисления по отмеченным в нем типам формул. Поскольку массив ICF всегда обрабатывается последовательно, то хранить его можно во внешней памяти ЭВМ и загружать по ча­стям, непосредственно перед обработкой.

При использовании метода ГПР последовательность операций решения системы (8.11) набирается с помощью специальной программы-кодировщика, не содержащей циклов и ветвлений, непо­средственно на языке высокого уровня или в машинных кодах и оформляется как подпрограмма. После трансляции и вклю­чения в систему сгенерированная таким образом программа реше­ния может быть многократно использована в процессе анализа консультируемой проблемы.

Однако при использовании МКФ и ГПР увеличиваются за­траты основной памяти ЭВМ для хранения массива ICF или про­граммы решения и практически невозможно обеспечить эффектив­ный контроль численной устойчивости процесса решения. Послед­нее обстоятельство связано с тем, что при анализе характеристик консультируемых проблем значения нелинейных параметров их компонентов изме­няются в очень широких пределах. Это может привести к появ­лению на главной диагонали используемой фиксированной ненуле­вой структуры уравнений модели близких к нулю элементов, пре­рыванию процесса решения, проведению частичного переупорядо­чения уравнений модели и повторению этапа настройки процедуры решения (набор массива ICF или ГПР).

Среди эффективных мер, принимаемых для обеспечения числен­ной устойчивости процесса решения разреженных систем (8.11), сле­дует отметить метод диагональной модификации (МДМ) и вы­деление в нижнем правом углу матрицы А заполненного субблока, при LU-разложении которого главные элементы выбираются по всему его полю.

Метод диагональной модификации не нарушает однородности процесса решения системы вида (8.11) и не требует проведения перестановок их строк и столбцов. В соответствии с МДМ при появлении на главной диагонали решаемой системы уравнений малого по величине элемента (например, аkk) его модифицируют добавлением некоторой константы gk и продолжают вычисления с модифицированной матрицей:

А' = А + ekgketk, (8.20)

где ek — единичный вектор, элементы которого равны нулю, кроме

k-го, равного единице.

Для получения истинного решения модифицированная система уравнений должна быть решена столько раз с различными векто­рами правых частей, сколько диагональных модификаций было вы­полнено в исходной системе. Например, при однократном исполь­зовании МДМ истинное решение определяется выражением

(8.21)

где х', z — решения систем уравнений А'х' =b и A'z = еk соот­ветственно, a x'k, zk — их k-e составляющие.

Дополнительные затраты на получение истинного решения зависят от того, в каких строках выполнялись диагональные модификации.

Точность решения линейной системы (8.11) зависит от степени обусловленности матрицы А уравнений модели консультируемой проблемы, под кото­рой понимают величину

(8.22)

где λ2mах и λ2min — соответственно максимальное и минимальное по величине собственные значения эрмитовой матрицы At A.

Например, если вектор правой части системы (8.11) задан с по­грешностью δb, то погрешность при нахождении вектора перемен­ных х определяется выражением

(8.23)

где || || означает норму вектора, в частности, эвклидову