Консалтология Общая теория консалтинга (стр. 102 )

Ω= 1,

а через ωs — меру области Дирихле Дs:

ωs=1, ωs = Ω, (10.191)

окончательно получим

≤LXεΩ

Таким образом, целесообразно ввести показатель эффектив­ности вспомогательной МСК в виде

= (10.192) Тогда для показателей эффективности исходной и вспомогательной МСК будет иметь место оценка

|-|≤LXεΩ ,

где ε — параметр ε-сети X* в X. Используя его прежнее обозна­чение, получим

|-|≤LXδxΩ . (10.193)

После простых преобразований можно показать, что

F* - (LXδx + LYδy) Ω ≤ + LXδxΩ. (10.194)

Таким образом, оптимизируя вместо исходной МСК вспомога­тельную с конечными множествами X* и Y* (сетями в X и Y с па­раметрами δx, δy) и показателем эффективности (10.192), можно при­нять полученную стратегию A* за оптимальную для исходной ИМСК; при этом проигрыш по показателю эффективности А ограни­чен значением

∆ ≤ L (x) — F* +( LXδx + LY δy) Ω. (10.195)

Но из условия (10.193) при А = А* имеем

= L (x) ≤+ LXδxΩ≡F*+ LXδxΩ

Учитывая полученное соотношение, неравенство (10.195) можно уси­лить:

∆ ≤ (2LXδx + LY δy) Ω≡ ∆*. (10.196)

Оценки, полученные для ГМСК (10.190) и ИМСК (10.196), позволяют найти параметры сетей X*, Y*, δx, δy, обеспечивающие отыскание опти­мальной стратегии с заданной точностью по показателям эффек­тивности ε. Эти параметры удовлетворяют условию

∆* ≤ ε. (10.197)

Используя оценки (10.190), (10.196), исследуем возможность отсеивания или агрегирования элементов ε-сетей при их модификации.

Рассмотрим ГМСК. Пусть произведена оптимизация вспомога­тельной ГМСК при параметрах сетей ε х, ε y. Из выражения (10.170) следует, что пары (х, у), для которых

ρ(х, y)>F* + LXδx,

не влияют на оптимальную стратегию исходной ГМKС. Следова­тельно, если

ρ(x, у) >F* + LXδx, (10.198)

то точка у X может быть исключена из рассмотрения.

Обозначим через Ау m-элементную стратегию, содержащую у. Если

>F* + LXδx, (10.199)

то точка у X может быть исключена из рассмотрения.

Если

LA(x) <F* - LYδy;

F′A ≤F* + LXδx (10.200)

то точка х X также может быть исключена из рассмотрения.

Условия (10.198)— (10.200) могут быть использованы при модифика­ции сетей X*, Y* (при замене более «густыми» сетями), но для этого они должны быть определены в терминах этих сетей.

Пусть ε, η — точки сетей X*, Y* соответственно. Можно пока­зать, что если

LA (ξ) ≤F* - LXδx - 2LYδy;

FA ≤F*+ LXδx +2LYδy , (10.201)

то из рассмотрения можно исключить точку ξX* с ее δx-окрестностью в X, а если

ρ(ε,η )>F*+ 2LXδx +LYδy (10.202)

или

>F*+ 2LXδx +LYδy ,

то из рассмотрения можно исключить точку ηY* с ее δy-окрестностью в Y.

Перейдем к рассмотрению ИМСК. Если ξ X*, η Y* и

ρ(ε,η )>F*+ LXδxΩ +( LXδx +LYδy ), (10.203)

то элемент ηY*с его δy-окрестностью в Y можно исключить из рассмотрения.

Нужно отметить, что условие (10.203) отсеивания элементов до­вольно «грубое», так как при уменьшении параметра сети δy проис­ходит уменьшение , т. е. выполнение условия (10.203) становится все более затруднительным. Этот недостаток отсутствует у следующего условия, являющегося аналогом условия (10.202).

Если ξ X*, η Y* и

>F* + (2 LXδx +LYδy) Ω, (10.204)

то элемент ηY*с его δy - окрестностью в Y можно исключить из рассмотрения.

Для ИМСК невозможно исключить из рассмотрения элементы X, как это делается для ГМСК, однако здесь существует возможность их агрегирования. Если некоторая область ДХ заведомо вхо­дит в одну область Дирихле оптимального решения, нет необходимости размещать в ней несколько элементов сети, а достаточно включить ее в рассмотрение в виде одного элемента, приняв

(10.205)

где ωд —мера этой области.

Можно показать, что если выполнено условие

| ρ (ξs, yk) - ρ (ξs, yp) | > 2 ( LXδx +LYδy) yk, yp. , (10.206)

то точка ξs агрегирует ее δx-окрестность в X, а значение ρ(ξs, у) вычисляется по формуле (10.205) при = ξs. Отметим, что для вы­полнения условия (10.206) необходимо

LY||yp-yk||>2(LXδx +LYδy) yp, yk . (10.207)

Действительно, если LY||yp-yk||≤2(LXδx +LYδy), то, ввиду неравенства (10.186)

| ρ (ξs, yk) - ρ (ξs, yp) |≤ LY || ур - yk ||,

условие (10.206) выполняться не будет.

Полученные оценки используются при выборе параме­тров сетей X*, Y*, обеспечивающих заданную точность оптимиза­ции МСК, а также для уменьшения размерности задачи при пере­ходе к сетям с меньшими значениями параметров (модификации сетей).

Можно указать оценки для взаимного расположения элемен­тов оптимальной стратегии. Обозначим через m оптимальное зна­чение показателя эффективности МСК с m-элементной стратегией.

Пусть Ат — некоторая m-элементная стратегия, причем каж­дые q ее элементов (q = 2, ..., т), например у1, y2, ..., уq, отстоят друг от друга более чем на z:

||yj — ys||≤z, j, s= 1,...,q.

Рассмотрим m — q + 1-элементную стратегию Av, v = m — q+ 1, полученную из Ат отбрасыванием q — 1 элемента у1 ..., yq-1.