Консалтология Общая теория консалтинга (стр. 94 )

Хα X < Хα X , fA(x), х Xα> FA(xα). (10.141)

Способ учета неопределенности есть одновременно функционал и функция от множества. При фиксированном Xα — это функционал над множеством определенных на X функций fA(x), при фиксиро­ванной на X функции fА(х) — это функция от подмножеств X. Число FA (Xα) будем называть н-обобщенными потерями, т. е. обобщенными потерями для стратегии А, вычисленными с учетом влияния множества неопределенностей Xα.

Перейдем к аксиоматическому описанию множества допусти­мых инвариантных составляющих способа учета неопределенности. Впредь, говоря о способе учета неопределенности, будем иметь в виду только его инвариантную составляющую. Введем ограни­ченный набор свойств элементов множества S, достаточно естест­венных для задач формирования рекомендаций :

1) нормировка

FA (X) [0, 1];

2) осреднение

Хα X , если fA(x) = C х Xα, то FA(Х)= C ;

3) монотонность

Х1; Х2 Х1, X1∩X2 = Ø,

если FA (X1) > FA (X2),

то Х3 Х, Х1∩Х3 = Х2∩Х3 = Ø, FA(X1 X3> FA (X2 X3);

4) устойчивость — в пределах множества S допускается не нару­шающее условий нормировки бесконечно малое варьирование значений FA (Xα).

Первое из перечисленных свойств означает, что поскольку

об­общенные потери ограничены пределами 0 и 1 независимо от реа­лизаций неопределенных факторов х X, учет всей совокуп­ности этих факторов не должен выводить за указанные пределы.

Второе свойство фиксирует несомненный факт, что если неопреде­ленные факторы не оказывают влияния на обобщенные потери, то н-обобщенные потери должны совпадать с обобщенными при любом допустимом способе учета неопределенности.

Свойство монотонности означает, что если н-обобщенные потери для одного множества неопределенностей больше, чем для другого, и каждое из них объединяется с некоторым третьим множеством, то н-обоб­щенные потери для первого объединенного множества больше, чем для второго.

Поясним смысл этого свойства. Пусть имеются две партии деталей. Каждая деталь характеризуется некоторым значением показателя качества, а каждая партия — некоторым интеграль­ным значением этого показателя. По значению этого показателя первая партия хуже второй. Свойство монотонности означает, что если в каждую партию добавить детали одинакового качества, то первая партия все равно останется хуже второй.

Наконец, четвертое свойство позволит использовать вводимое аксиоматически множество S в реальных задачах, для которых характерно приближенное вычисление параметров, в том числе и

н-обобщенных потерь.

Используя приведенные выше свойства, докажем существо­вание так называемой функции построения Ф(и, v); 0 ≤ и, v ≤ 1; 0 ≤ Ф ≤ 1, такой, что если Х1, Х2 —любые непересекающиеся подмножества внешнего множества X, то

F (X1 Х2) = Ф (F (Х1), F (Х2)),

т. е. н-обобщенные потери для множества Х1 Х2 зависят лишь от

н-обобщенных потерь для составляющих его множеств Х1 и Х2.

Теорема 1.

Ф = Ф(u, v): Xl, X2 X1 X1 X2 = Ø

Fa (X1 U X2) = Ф (FA (X1, FA (X2)); (10.142)

u, v, [0, 1].

Доказательство. Из требований монотонности и устойчивости следует, что каждый входящий в S способ учета не­определенности может быть описан некоторой числовой функцией, зависящей от числовых переменных, так называемой функцией построения Ф (и, v), 0 ≤ и, v , Ф ≤ 1. Покажем это. Пусть для некоторых множеств X1, X2 X

Fy(X1) = Fy(X2). (10.143)

Тогда для любого X3 X

Fy(X1 X3) = Fy(X2 X3). (10.144) Предположим, что это не так:

Fy (X1 X3) > Fy (X2 Х3).

Произведем допускаемое требованием устойчивости бесконечное малое варьирование Fy (Х1) или Fy (X2) на величину, меньшую разности

Fy (Х1Х3) — Fy (X2 X3), так, чтобы исходное ра­венство заменялось неравенством F'y(Х1)<F'y(X2) (штрихом обозначен результат варьирования). При этом сохранится нера­венство

F'y (Х1 X3) > F'y (Х2 X3), а следовательно, нару­шится условие монотонности.

Из выражений (10.143) и (10.144) следует, что если Х1, Х2, Хα, Хβ X — любые множества, такие, что Fy (Х1) = Fy (Xα) = и, a Fy (X2)=Fy(Xβ)=v, то

Fy (Х1 Х2) = Fy (Хα Хβ)

Это означает, что н-обобщенные потери для множества X1 X2 зависят лишь от н-обобщенных потерь для составляющих его множеств Х1, Х2, т. е.

Fy (Х1 Х2) = Ф (Fy (X1), Fy (X2)). (10.145)

По свойству нормировки аргументы и значения функции (10.143) заключены между 0 и 1.

Следствие. Функция построения симметрична и ассоциативна относительно своих аргументов:

Ф (и, v) = Ф (v, и);

Ф (и, Ф (v, z) = Ф (v, Ф (и, z)).

Доказательство. Следует из симметричности опера­ции объединения множеств Х1, Х2 в условиях (10.142).

Отнесем к множеству допустимых способов учета неопределен­ности S лишь достаточно универсальные и простые способы учета неопределенности. Эти свойства проявятся в том, что описываю­щие их функции построения должны быть определены при любых значениях аргументов, заключенных между 0 и 1, и иметь непре­рывные частные производные 1-го порядка. Для этого потребуем от элементов множества S удовлетворения еще двум условиям: уни­версальности и гладкости.

Условие универсальности состоит в том, что функция построения определена для любых и, v [0, 1].

Условие гладкости состоит в том, что функция построения на

[0, 1]×[0, 1] имеет непрерывные частные производные 1-го порядка.

Используя все наложенные на элементы S условия, можно уста­новить ряд дополнительных свойств допустимых способов учета неопределенности.

Лемма 1.

и [0, 1];

φ(и)≡ Ф (и, v ) = Ф (и,1);

ψ (и) ≡ Ф (и, v) = Ф (и, 0) —

строго монотонно возрастающие функции и

Ф (и, v )> Ф (и, v).

Доказательство. Из гладкости Ф (и, v) следует ее непрерывность на множестве [0, 1] × [0, 1], а поэтому она при­нимает при любом и [0, 1] экстремальные значения по v на отрезке [0, 1]. Ввиду соотношения (10.141)

v1> v2 Ф (и, v1) > Ф (и, v2) ,

т. е. функция построения строго монотонна по своим аргументам, а следовательно,

Ф (и, v ) = Ф (и,1);

Ф (и, v) = Ф (и, 0).

Тогда