Консалтология Общая теория консалтинга (стр. 24 )

Подсчитаем величины элементов матрицы ||сij||.

Продолжая вычисления, получим, что с23 = 0, c32 =1, с31 = 0. Таким образом, окончательно имеем

(8.143)

Пометим в матрице ||aij||31 звездочками те элементы, для которых cij в матрице (8.143) не равны нулю. Такими элементами будут а32 и а13. Расширим матрицу ||aij||31, дополнив ее двумя строками и столбцами, а элементы а13 и а32 заменим парой новых, как это показано штриховой линией в матрице (8.144).

(8.144)

По матрице ||aij||51 вновь построим матрицы

Они будут иметь вид:

(8.145)

(8.146)

У матрицы (8.146) только один элемент cij = c12, соответствующий

аij= a12 = 1, не равен нулю.

Дополним матрицу (8.144) еще одной строкой и одним столбцом, а элемент а12 заменим парой новых

(8.147)

Процесс преобразования исходной матрицы (8.140) заканчивается на (8.147), так как построенная для нее матрица ||с||61 будет иметь вес

cij = 0 для соответствующих им аij = 1.

Таким образом, преобразование и расширение исходной мат­рицы бинарных отношений следует производить до тех пор, пока в соответствующей ей матрице ||сij|| все элементы не станут рав­ными нулю.

Дальнейший этап преобразования сводится к определению нумерации вершин нового реберного графа и распределению между ними ребер, эквивалентных исходному вершинному графу. Рассмотрим алгоритм определения нумерации вершин нового реберного графа.

1. Если в матрице ||аij||n1 имеется больше, чем один пустой столбец, то к матрице слева и сверху приписываются еще один столбец и строка, причем новый столбец остается пустым, а в новой строке на местах, соответствующих пустым столбцам, простав­ляются единицы.

2. Если имеется более, чем одна пустая строка, то к матрице приписываются слева и снизу столбец и строка, причем приписан­ная строка остается пустой, а в новом столбце на местах, соответ­ствующих пустым строкам, проставляются единицы.

3. Пустому столбцу приписывается первый номер. Этот же номер присваивается строке, имеющей тот же индекс, который проставляется справа от матрицы в колонке под начальным номе­ром Nнач. Если в исходной матрице ||аij||n1 нет пустых столбцов, то первый номер может быть присвоен произвольному столбцу.

4. Отметим первый столбец и опустимся по нему вниз до встречи с элементом, отличным от нуля. Вычеркиваем его. Затем, переме­щаясь по строке, где был встречен первый элемент, отличный от нуля, вычеркиваем все элементы aij ≠ 0. Если в очередном столбце нет более элементов, отличных от нуля, то ему присваива­ется тот же номер (индекс). Эти же номера (индексы) присваиваются тем же строкам. Они проставляются в колонке под рубрикой Nнач. Операция повторяется до тех пор, пока в отмеченном столбце не останется ни одного не вычеркнутого элемента. Затем переходят к следующему столбцу матрицы, присваивая ему очередной номер (индекс). Операция повторяется, пока в матрице ||аij||n1 не останется ни одного невычеркнутого элемента.

5. Полученные номера (индексы) столбцов выписывают в виде дополнительной строки Nнач под матрицей ||аij||n1.

6. Составляют второй дополнительный столбец Nкон (номер конечный) путем проектирования Nнач на матрицу ||аij||n1. Проекти­рование осуществляется следующим образом. Номер (индекс) из строки Nнач перемещается по столбцу до встречи с aij ≠ 0. Затем по этой строке номер (индекс) из строки Nнач перемещается в столбец Nкон.

7. На этом процедура преобразования заканчивается. Номера (индексы) столбцов Nнач и Nкон указывают на вершины, которые

связаны ребром с номером (индексом), соответствующим номеру (индексу) строки, бывшем ранее вершиной в исходном вершинном графе.

8. По полученной матрице вместе со столбцами Nнач и Nкон строится эквивалентный граф.

Осуществим с помощью описанного алгоритма преобразование матрицы (8.147). В ней нет строк и столбцов, содержащих только нули, поэтому процедуры, определенные первыми двумя пунктами алгоритма, отпадают. Выбор первого столбца осуществляется произвольно. Пусть им будет столбец 6. Присвоим ему индекс у1. Строке 6 также присваивается этот же индекс и проставляется в столбце Nнач. Элемент а16 =1. Вычеркиваем его. Двигаясь по первой строке, вычеркиваем элемент а14 =1. В столбце 4 нет больше отличных от нуля элементов. Ему также присваивается индекс у1 и соответственно строке 4 индекс проставляется в столбце Nнач.

Переходим к следующему столбцу. Пусть им будет столбец 5. Присваиваем ему индекс у2 (в строке 5). В столбце 5 отличен от нуля элемент а35. Вычеркиваем его. Двигаемся по строке 3 до встречи с отличным от нуля элементом а13. Вычеркиваем его. В столбце 1 нет больше ненулевых элементов. Ему присваивается индекс у2 (в первой строке). Переходим к следующему столбцу. Пусть им будет столбец 3. Присвоим ему (и строке 3) индекс у3 и т. д. Получим новую нумерацию в виде столбца Nнач. Запишем новую строку Nнач и спроектируем ее на матрицу, что даст стол­бец Nкон.

(8.148)

По матрице (8.148) видно, что эквивалентный граф имеет четыре вершины у1, у2, у3, у4, соединенные шестью ребрами.

Полученный граф эквивалентен исходному (см. рис. 8.12), поскольку в нем сохраняется та же система бинарных отношений.

Изложенная методика построения графа достаточно сложна для ее ручной реализации. Поэтому существует программа, ориентированная на реализацию ее на ЭВМ.

8.15. Анализ количественных характеристик структур консультируемых проблем

Проводя структурный анализ КП и их подпроблем, необходимо располагать методикой, позволяющей определять некоторые струк­турные характеристики КП и давать им количественную оценку.

Качественная характеристика оценки структур КП и их под­проблем необходима для определения на начальной стадии консультирования проблем степени пригодности данной структурной схемы для выполнения поставленных перед проблемой задач.

Весьма важными показателями при оценке структурных схем КП являются установление роли и значения отдельных элементов КП, определение наиболее уязвимых мест и слабых схемных реше­ний. Кроме того, при разработке множества вариантов структур­ных схем КП и их подпроблем, возникает необходимость в качест­венном сравнении этих схем.

Представляя структурную схему КП или ее подпроблемы мате­матической моделью в виде графа, еще ничего нельзя сказать отно­сительно качественных показателей самой КП. Для определения качественных показателей структур КП в количественном выра­жении требуется разработать методику определения этих коли­чественных выражений. Используя указанные методики, можно разработать алгоритмы и программы реализации этих методик в подсистеме автоматизированного анализа структурных схем КП.

Параметры структурной схемы КП и ее подпроблем, определяю­щие качество схемы, должны быть простыми и не требовать для своего определения данных больше, чем их содержится в самой структурной схеме. Для определения качественных характеристик структур КП и их подсистем можно ввести следующие критерии.

1. Связность структуры. Этот критерий позволяет определить отсутствие требуемых связей между элементами КП, «висящие» вершины и др.

Связность элементов структуры, если она представлена в форма ориентированного графа, можно определить с помощью матрицы связности S =||sij||. Элементы этой матрицы вычисляются c

использованием матрицы смежности этого графа:

В этом случае элемент

(8.149)

В случае представления структуры КП в форме неориентиро­ванного графа связность его элементов определяется с помощью следующего выражения:

(8.150)

В этом выражении правая часть неравенства определяет необхо­димое минимальное число связей в структуре неориентированного графа, содержащего n вершин.

2. Структурная избыточность. Под структурной избыточностью будем понимать такой структурный параметр, который отражает превышение общего числа связей над минимально необходимым.

В соответствии с (8.150) структурную избыточность N будем определять из выражения

Эту характеристику структуры КП будем использовать для косвенной оценки экономичности и эффективности КП. КП, представляемые моделью «полный граф», имеют максимальную избыточность. У таких КП величина параметра структурной избыточности больше нуля (N>0). У КП с минимальной избыточностью этот параметр равен нулю (N=0). Несвязные структуры характеризуются отрицательной величиной N (N < 0).

Отсюда следует, что наибольшей эффенктивностью обладают КП, у которых наибольшее численное значение параметра струк­турной избыточности.

В ряде задач анализа структурной эффективности КП будем ис­пользовать такой структурный параметр, который учитывает неравномерность распределения связей μ2.