Консалтология Общая теория консалтинга (стр. 97 )

∆ (G1, G2) = | G1(x)dx) – G2 (x) dx | = |(G1(x) –G2 (x)) dx |.(10.160)

В этом случае расстояние между порождающими функциями G1 (t) и G2 (t) определяется как площадь фигуры R и отлично от нуля. Однако, если допускается пересечение графиков функций G1 (t) и

G2 (t), правило (10.159) не удовлетворяет аксиоме тождества. Для получения окончательного правила определения расстояния, удовлетворяющего всем необходимым аксиомам, примем

∆ (G1, G2) =|G1(x) — G2(x)|dx,

т. е. определим расстояние как площадь фигуры, ограниченной графиками функций G1 (t), G2 (t). Такое расстояние достаточно естественно: если G1 (t) > (<) G2 (t) на [0, 1], оно совпадает с раз­ностью субъективных н-обобщен­ных потерь. В то же время, для любых

G1 (t), G2 (t) S можно записать:

∆ (G1, G2) = 0G1(t) = G2(t),

t [0, 1];

∆ (G1, G2) =∆ (G2, G1) ;

∆ (G1, G3) ≤∆ (G1, G2) +∆ (G2, G3) .

Два первых свойства очевидны. Докажем третье. Для этого запи­шем

|G1(х)-G3(x)|=|G1(x)-G2(x)+G2(x) – G3(x) ≤| G1 (x) - G2 (x) |+|G2(x) - G3 (x)|,

откуда

| G1(x ) — G3(x)|dx≤|G1(x)-G2(x)|dx+ | G2(x) - G3(x) | dx,

т. e.

∆ (G1, G3) ≤ ∆ (G1, G2)) + ∆ (G2, G3).

При полученных условиях построение ε-сети в S сводится к задаче оптимизации стратегии гарантирующей многоцелевой системы

<S, S, ∆(G1, G2)>. В этой многоцелевой системе множе­ство порождающих функций является и множеством неопределен­ности, и множеством стратегий. Отыскиваем n-элементную стра­тегию А S, обеспечивающую минимум функционалу, который определяет наибольшее расстояние от любых порождающих функ­ций G (t) S до ближайших к ним порождающих функций из стратегии А. Заменим порождающие функцииих кусочно-линей­ными аппроксимациями. Для этого разобьем отрезок [0, 1 ] оси t на п + 1 равную часть точками ti,

i = 0.....п + 1, t0 = 0, tn+1 = 1, t i > tK при i > к и обозначим значения типовой и «ис­тинной» порождающих функций в этих точках соответственно через уi и xi, i = 0, ..., п + 1:

y0=x0 = 0, yn+1=xn+1 = 1.

Тогда «истинная» порождающая функция определяется n-мерным вектором х = (х1, ..., хп).

Допустимые «истинные» порождающие функции являются точ­ками области X n-мерного пространства, описываемой условиями

0≤ хi ≤ xi+1 ≤ 1, i = 1, ..., n — 1. Аналогично типовые по­рождающие функции описываются n-мерными векторами у=(y1, ..., yп), принадлежащими области Y n-мерного простран­ства, задаваемой условиями:

0≤ yi ≤ yi+1 ≤ 1, i = 1, ... , n— 1

В соответствии с моделью МСК область X является внешним множеством МСК, область Y — множеством стратегий, а искомый набор т типовых порождающих функций определяет m-элементную стратегию А = {yj}j=1.....m Y. В качестве функции локальной эффективности примем интегральную ошибку при за­мене «истинной» порождающей функции х (t) на типовую у (t):

f{x,y)= |x(t)-y(t)|dt.

С учетом введенной аппроксимации

f (х, y) = |x(t)-y(t)|dt = K(хi , yi, xi+1 , yi+1), (10.161)

где

K(хi , yi, xi+1 , yi+1)= |x(t)-y(t)|dt (10.162). Для вычисления интеграла (10.162) рассмотрим различные ва­рианты взаимного расположения типовой и «истинной» порождаю­щих функций на отрезке [ti, ti+1] (рис. 10.47).

Рис. 10.47. Варианты взаимного расположения «истин­ной» и типовой порождающих функций:

Значение вычисляе­мого интеграла для каждого варианта, очевидно, равно площади заштрихованной фигуры. Соответствующие выкладки проводятся достаточно просто, их результаты, определяющие

K(хi , yi, xi+1 , yi+1), сведены в табл. 10.4.

Таблица 10.4

Показатель эффективности МСК естественно выбрать в виде

f(X, А, Е(х))= f(x,yj), yjA.

Тогда он оценивает гарантированную ошибку при наилучшей замене «истинной» порождающей функции на функцию из типового набора.

Итак, задача определения типового набора функций учета неопределенности сведена к оптимизации стратегии ГМСК при функ­ции локальной эффективности вида ρ(х, у).

Она решается общим алгоритмом оптимизации МСК. Прежде чем переходить к описанию полученных результатов, исследуем эту задачу с использованием наглядных графических приемов. Это позволяет определить ее качественную специфику, а также получить эффективное началь­ное приближение и использовать в общем алгоритме оптимизации МСК быстро работающие алгоритмы улучшения и распределения.

Примем п = 1, полагая, что в точках t = 0 и t = 1 порождаю­щие функции могут принимать любые значения от 0 до 1. Это равносильно разбиению отрезка [0, 1 ] оси t на три неравные части, две из которых (крайние) неограниченно уменьшаются (рис. 10.48).

Рис. 10.48. Аппроксимация порождающей функции трехзвенной ломаной

В этом случае соотношение (10.161) совпадает с К (х1, у1, х2, у2) и задача сводится к оптимальному «покрытию» треуголь­ника, изображенного на рис. 10.49, фигурами, определяемыми ли­ниями уровня функции К (х1, у1, х2, у2) (рис. 10.50).

Рис. 10.49. Внешнее множество X и мно­жество Y при формировании

типового набора допустимых способов учета неопре­деленности

(аппроксимация порождающей функции при n = 1, 2)

Рис. 10.50. Линия уровня функции локальной эффективности при n = 1

Отметим, что при деформации плоскости (х1, х2) — сжатии в 2 раза в направле­нии биссектрис 2-го и 4-го квадрантов — эти линии уровня близки к окружностям (рис. 10.51), поэтому окончательно можно рассма­тривать оптимальное покрытие рассматриваемого равнобедрен­ного треугольника с гипотенузой √2 и высотой кругами.

Рис. 10.51. Линия уровня функции локальной эффективности при

n = 1 на деформиро­ванной плоскости

Результаты решения такой задачи показаны на рис. 10.52 и 10.53.