Программный комплекс "Тепловой взрыв" (стр. 55 )

Термины прямая и обратная задачи часто используются в различных областях науки и техники, социальных и других процессах. Дадим их краткое пояснение.

Рассмотрим укрупненную модель функционирования любой системы (рис.10.1).

Рис. 10.1. Укрупненная модель функционирования системы

Сущность построения ее математической модели заключается в определении оператора {A}, преобразующего вход Х в выход Y. Под прямой задачей будем понимать определение выхода Y, если известны вход X и оператор {A}. В соответствии с рис.10.1, решение прямой задачи осуществляется по направлению слева направо: неизвестный ВЫХОД находится в крайнем правом положении, а ВХОД и СИСТЕМА считаются заданными. Суть прямой задачи: известны причины, нужно найти следствие. В качестве причин могут выступать сама математическая модель (ее структура и параметры), начальные и граничные условия и т. д. Следствиями могут быть компоненты физических полей (температура, поля концентраций и т. д.). Прямые задачи составляют суть современной математической физики.

В качестве обратной задачи в общем случае понимается задача идентификации входа и модели системы. Постановка класса обратных задач: известны следствия, требуется найти причины и определить их по некоторой дополнительной информации об объекте исследования (движение справа налево на рис. 10.1). Прямая задача имеет только один вид, а обратная два вида или более, в зависимости от уровня информации. Прямая задача, в общем случае, - поиск решения уравнения с заданными начальными и граничными условиями. В обратных задачах определяющее уравнение и/или начальные и/или граничные условия не заданы полностью, но зато есть некоторая дополнительная информация. Решение большинства обратных задач можно найти только приближенно, с помощью численных методов, и требуются достаточно тонкие математические средства анализа для обоснования единственности и устойчивости полученных решений.

Теория решения обратных задач – достаточно сложный специальный раздел современной прикладной математики. В задачу нашей книги отнюдь не входит погружение ее читателя (состоявшегося или предполагаемого в будущем пользователя TSS) в ее математические дебри. Для этого имеется множество специальной литературы (например, [20–22]), излагающей на самом разном уровне эту теорию. Имеется огромное число примеров успешного применения обратных задач в различных областях науки, например, в астрофизике [23,24], в теории измерений [25] и многих других сферах. Они детально показывают, как современный математический аппарат теории обратных задач, примененный к анализу экспериментальной информации, позволяет сделать важные выводы о природе и эволюции объектов, удаленных от нас на огромные расстояния и механизм эволюции которых пока мы не знаем. И, конечно, было бы совсем неплохо, чтобы пользователь TSS достаточно хорошо знал эту теорию. Но это, в принципе, достаточно затруднительно, т. к. требует от него профессиональной подготовки в области математики, делающей такого специалиста профессионалом в совсем иной области, чем термическая безопасность.

Я уже говорил о том, что спасительная особенность нашей жизни является наша способность делать множество вещей, не понимая всех их деталей. Это принцип всей нашей современной жизни, предельно насыщенной самой разнообразной сложной техникой. Современный человек для успешного управления автомобилем должен только в самых общих чертах понимать его устройство (в принципе, может вообще ничего знать об этом). Именно так обстоит дело с применением TSS, где от пользователя этого комплекса необходимо требовать понимание и знание моделей, используемых в нем, знание его возможностей и ограничений, знание возможных трудностей, которые могут быть при решении прикладных задач и способов их преодоления, а не знание внутреннего устройства TSS, деталей теории и многочисленных математических методов, которые эта система использует. Именно исходя из этих общих соображений построено изложение материала в этом разделе.

10.2. Суть и методология идентификации химических реакций

В ГОСТ 20913 – 75 "Автоматизированные системы управления технологическими процессами. Стадии создания" идентификацией называется "определение параметров и структуры математической модели, обеспечивающих наилучшее совпадение выходных координат модели и процесса при одинаковых входных воздействиях". В дальнейшем мы будем придерживаться именно такого понимания этого термина.

Как уже указывалось, кинетическая модель химической реакции – это ее математическая модель, устанавливающая связь скорости химической реакции с параметрами состояния химического процесса: концентрациями, температурой, давлением и т. д. Параметры состояния в общем случае не наблюдаемы. Наблюдаются при кинетическом исследовании (с помощью датчиков) значения откликов в виде сигналов, функционально связанных с параметрами состояния химической реакции.

Рассматривая проблему идентификации химической реакции нужно всегда помнить о том, что химическая реакция как объект никогда не существует самостоятельно, а всегда входит в состав химической системы, включающей в себя помимо собственно химической реакции, еще и реактор – устройство, объем, в котором она происходит. Поэтому изменение внутреннего состояния химической реакции при кинетическом исследовании определяется не только химической реакцией, но и реактором, определяющим взаимодействие химической реакции с внешней средой. Датчик формирует отклик – параметр, функционально связанный с внутренним состоянием химической реакции с помощью рассмотренной ранее модели наблюдения.

Введем следующие обозначения:

(t) = - вектор внутренних переменных состояния химической реакции;

(t) = - вектор наблюдаемых откликов;

= - вектор параметров (констант) модели.

Тогда модель кинетического исследования может быть представлена в виде системы уравнений:

               (10.1)

где f – оператор кинетической модели;

g – оператор модели наблюдения.

Предполагается, что при кинетическом исследовании модель наблюдения известна точно. Однако эта функция может обладать особенностью – отсутствием взаимно однозначного соответствия между внутренними параметрами и откликами: задание значений внутренних параметров для данной модели наблюдения всегда однозначно определяет значения откликов, но обратное утверждение может не выполняться.

Пусть в течении периода времени проводились экспериментальные наблюдения за поведением исследуемого процесса и в ходе эксперимента были получены значения откликов в некоторые моменты времени .

Задачу параметрической идентификации математической модели (10.1) по экспериментальным данным в дальнейшем будем определять как задачу отыскания таких числовых значений параметров известной функции f при которых расчетные значения откликов модели наилучшим образом согласовались бы с экспериментально полученными. Задача структурной идентификации – отыскание вида функции f при котором расчетные значения откликов модели наилучшим образом согласовались бы с экспериментально полученными. Задача структурной идентификации включает в себя задачу параметрической идентификации.

Рассмотрим задачу параметрической идентификации в следующей постановке, признаваемой сегодня классической [26-29].

Рассматривается функция известного вида , где x={ k-мерный вектор независимых переменных; и = { – m-мерный вектор неизвестных параметров. Проводятся измерения значений в точках , где j= 1, …, n, причем n. Связь между результатами измерений и неизвестными параметрами и описывается системой уравнений: