Программный комплекс "Тепловой взрыв" (стр. 83 )

При аппроксимации основных уравнений и граничных условий используется пространственная сетка со смещенными узлами, так называемая шахматная или MAC сетка (рис.12.2).

Рис.12.2. Ячейка пространственной MAC – сетки: i, j – номера узлов.

Расчетная область разбивается на ячейки, в центре которых размещаются узлы для определения температуры, модифицированного давления и массовых долей компонент, а на краях - узлы, служащие для вычисления проекции скорости, нормальной к данной границе ячейки.

Обычно краевые узлы, принадлежащие приграничным ячейкам, совпадают с границами расчетной области, что упрощает постановку граничных условий для проекций скорости.

Часто структура течения такова, что в пристеночной области существует тонкий пограничный слой с довольно резким изменением скорости. Для успешного решения подобных задач используется неравномерная сетка, сгущающуюся у границ. Описываемый алгоритм позволяет проводить расчеты как на равномерной, так и на сгущающейся у границ сетке. При этом внутри пограничного слоя шаг сетки наращивается от минимального у стенки до максимального на внешней границе пограничного слоя по закону геометрической прогрессии, а в остальной части расчетной области является постоянным и равным максимальному.

При решении уравнений энергии и переноса массы используется прием расщепления по физическим процессам [49]. На первом шаге определяется изменение полей температуры и массовых долей реагентов только за счет химической реакции, затем учитываются явления конвективного и молекулярного переноса.

12.3.2. Покоординатное расщепление исходных уравнений

При решении многомерных задач используется метод, позволяющий свести исходную задачу к последовательному решению ряда одномерных задач [49]. Используется два способа факторизации исходных уравнений: ADI и DDADI.

ADI - наиболее широко известный способ факторизации.

Представим аппроксимацию исходной задачи по времени в виде:

               (12.47)

где Y – искомая функция;

Φ- источниковое слагаемое;

Li - оператор, действующий по i –ой координате.

Приближенно (12.47) можно записать как

               (12.48)

Тогда решение (12.48) сводится к последовательности шагов:

               (12.49)

При поиске стационарных решений, когда шаг по времени является итерационным параметром, используется метод расщепления DDADI, суть которого будет показана на примере двумерных задач.

Разностный оператор, записанный для m–ой ячейки пространственной сетки и действующий по i-му направлению представляется в виде суммы

       

где – действует только на искомую функцию, относящуюся к узлу, расположенному в центре ячейки. Тогда приближенно (12.48) можно представить в виде:

               (12.50)

Решение (12.50) сводится к последовательности шагов:

               (12.51)

12.3.3. Особенности пространственной аппроксимации

Пространственную аппроксимацию основных уравнений рассмотрим на примере двумерной задачи, записанной в декартовой системе координат. В тех случаях, когда переход к другой системе координат или к задаче большей размерности требует принципиальных отличий, будут сделаны соответствующие пояснения.

Уравнения переноса энергии и массы.

При построении дискретных аналогов уравнений (12.18), (12.19), удобно представить их в консервативной форме:

               (12.52)

Особенности пространственной аппроксимации рассмотрим на примере уравнения энергии (12.52), так как уравнение для сохранения отдельных компонент имеет сходную структуру.

Основной интерес представляет аппроксимация конвективных слагаемых вида и слагаемых, отвечающих за теплопроводность . Рассмотрим ячейку пространственной сетки. Слагаемое, отвечающее за теплопроводность во внутренних точках расчетной области, аппроксимируется следующим образом:

               (12.53)

Для аппроксимации конвективных членов воспользуемся следующим выражением:

               (12.54)

В (12.54) скорости определяются в своих "собственных" узлах, а для температуры используется схема второго порядка точности:

               (12.55)

Если ячейка является второй по счету у границы расчетной области, то используется схема 1-го порядка точности, например,

               (12.56)

Для ближайшей к границе расчетной области ячейки из-за условий непротекания конвективный поток внутрь ячейки со стороны границы будет равен нулю.

Вид граничных условий повлияет на выражение (12.51) для членов с теплопроводностью. Для граничных условий 1-го рода при аппроксимации теплового потока на границе удобно воспользоваться односторонней разностью 2-го порядка точности:

               (12.57)

Если на границе задан тепловой поток, то известно точное значение произ­водной на границе, а для граничных условий 3-го рода для аппроксимации темпе­ратуры на границе можно воспользоваться односторонней разностью, анало­гичной используемой в (12.53).

Уравнение переноса импульса.

При решении уравнения импульса используется неявный проекционный метод [46]. Суть его состоит в следующем: на первом шаге определяется предикторное значение скорости:

               (12.58)

В (12.58) при переходе к проекциям скорости слагаемые из , относящиеся к рассматриваемой проекции аппроксимируются неявно на (n+1)-ом временном слое, а остальные –на предыдущем временном слое. Полученные из (12.58) скорости не удовлетворяют уравнению неразрывности. На втором шаге решается уравнение Пуассона для модифицированного давления, являющееся следствием уравнения неразрывности и скорости корректируются таким образом, чтобы уравнение неразрывности выполнялось:

               (12.59)

Пространственная аппроксимация (12.59) очень удобно и легко осуществляется на шахматной сетке со вторым порядком точности, например, для декартовой системы координат получим:

       

Для получения однозначного решения системы линейных алгебраических уравнений относительно поправок давления за границами расчетной области вводятся дополнительные фиктивные точки и ставится граничное условие равенства поправки давления вблизи границы и в дополнительной расчетной ячейке. Для явной схемы можно показать, что такой способ не нарушает граничных условий прилипания и непротекания для скорости и гарантирует выполнение уравнения неразрывности во всей расчетной области, включая приграничные ячейки.

Поясним особенности аппроксимации вязкостных и конвективных слагаемых на примере проекции уравнения импульса на ось x:

               (12.60)

Запишем уравнение (12.60) для значения проекции скорости u в узле (i+1/2, j).

Для аппроксимации конвективных слагаемых воспользуемся разностями против потока 2-го порядка точности по пространству:

               (12.61)

Аналогично записывается и выражение для. При этом вычисляется путем интерполяции по четырем ближайшим узлам. Для узлов, рас­положенных вблизи границы, используется разность против потока 1-го порядка точности по пространству, например, для второй ячейки, расположенной у правой границы области:

               (12.62)

Вязкостные слагаемые аппроксимируются со вторым порядком точности по пространству, например:

               (12.63)