Программный комплекс "Тепловой взрыв" (стр. 76 )

Рис.11.9. Геометрия моделируемых объектов

В задачах с цилиндрической и сферической геометрией, в дополнение к условиям на поверхности сосуда, используются условия симметрии:

               (11.49)

где r – радиальная координата.

На внутренних границах между химически инертной и реакционной областями используются условия непрерывности температуры и теплового потока:

               (11.50)

где индексы – и + соответствуют значениям с двух сторон от границы.

При анализе упаковок, сложенных в штабель, предусмотрены два варианта задания характера теплообмена между отдельными элементами штабеля. В случае идеального контакта на границе между соседними элементами используются условия непрерывности температуры и тепловых потоков (11.47). При наличии зазоров между элементами штабеля (неидеальный контакт) на границе соседних элементов используются следующие условия:

               (11.51)

где qs – тепловой поток на границе раздела;

Rt – термическое сопротивление зазора.

Значения термических сопротивлений для простейших случаев тонкого слоя твердого вещества, теплоизолятора и воздушного зазора приведены в [24].

Начальное распределение температуры и конверсий во всех случаях принимается однородным.

11.3.2. Численные методы и алгоритмы решения задачи

Специфика практических задач, возникающих при анализе теплового взрыва объектов различного назначения, предъявляет жесткие требования к используемым для их решения вычислительным алгоритмам. Это связано со следующими обстоятельствами.

Для распространенной и практически важной задачи определения критических условий теплового взрыва необходимо проводить расчеты для больших временных интервалов. При этом в течение периода индукции теплового взрыва изменения температуры и конверсий малы, то есть процесс близок к стационарному. Однако по истечении периода индукции эти величины начинают резко изменяться. Таким образом, используемый вычислительный алгоритм должен позволять решать, как практически стационарные, так и нестационарные задачи на больших интервалах времени. Особенностью рассматриваемого класса задач, усложняющей их численное решение, является значительное (на порядки величин) различие характерных времен отдельных физических и химических процессов, определяющих поведение системы (кондуктивный перенос тепла и химические реакции). При этом длительность периода индукции или промежуток времени, в течение которого достигается степень превращения реакции, достаточная для того, чтобы с уверенностью судить об отсутствии взрывного режима, как правило, значительно превышает минимальное из характерных времен перечисленных процессов. При численном интегрировании сформулированной в предыдущем разделе системы уравнений данная особенность приводит к необходимости использования достаточно мелкого шага интегрирования по времени и выполнения большого числа временных шагов. Химические источниковые члены уравнений являются сильно нелинейными, что также влечет за собой значительные вычислительные трудности. Рассматриваемые задачи характеризуются наличием зон, описываемых разными уравнениями с сильно различающимися свойствами, на границах которых необходимо использовать условия сопряжения. Это практически исключает возможность использования традиционного подхода к решению сопряженных задач, состоящего в последовательном решении уравнений в отдельных областях, и требует использования сквозных методов расчета, позволяющих избежать явной аппроксимации условий сопряжения на границах отдельных зон и, тем самым, значительно повысить устойчивость алгоритма и снизить время, необходимое для решения задачи. В задачах о распространении фронта реакции зона больших градиентов температуры движется в пространстве со значительной скоростью.

Для того чтобы успешно решить перечисленные проблемы необходимо использовать неявные алгоритмы с переменным шагом по времени, автоматически корректируемым в процессе решения и применять неравномерные подвижные пространственные сетки, адаптирующиеся к решению.

Численное решение задач моделирования теплового взрыва представляет собой весьма сложную задачу, требующую весьма основательной профессиональной подготовки в вычислительной математике и программировании. Многие такие задачи покрываются возможностями TSS. Мало вероятно, чтобы пользователь TSS, использующий эту систему, самостоятельно без помощи профессионалов ставил и решал такие задачи, не предусмотренные в такой системе. Поэтому, по мнению автора, отсутствует необходимость нагружать в основном тексте книги пользователя TSS информацией об алгоритмах их решения. Для тех, кто хотел бы иметь общее представление об использумых методах в TSS, в Приложении 4 приведена краткая информация по этому вопросу.

11.4. Некоторые примеры

В рамках настоящей монографии мы не даем отдельного описания программы ThermEx, основная функция которой моделирование теплового взрыва в твердой фазе. Определенная информация об этой программе, достаточная, по нашему мнению, для ознакомления с ее функциональностью имеется в справочной информации о программной системе TSS, представленной во введении. Подробное руководство пользователя по этой программе имеется в свободном доступе в Интернет на сайте ЗАО "Химинформ".

Ниже рассмотрены некоторые примеры, иллюстрирующие возможности использования TSS для математического моделирования теплового взрыва в объектах при наличии кондуктивного теплообмена.

11.4.1. Моделирование теплового взрыва объекта, заполненном взрывчатым веществом

Рассматривается объект цилиндрической формы с эллиптической крышкой. Габариты объекта:

- внешний радиус цилиндра – 11 см;

- длина цилиндрической части – 71 см;

- высота эллиптической крышки – 20 см;

- толщина стенки контейнера (корпуса) – 1 см

Объект заполнен взрывчатым веществом со следующими физическими свойствами: Ср=2 Дж/г/С; λ= 0.1 Вт/м/С, ρ=1 г/см3.

Свойства материала контейнера: материал – сталь с параметрами: Ср=0,5 Дж/г/С; λ= 20 Вт/м/С, ρ=7 г/см3.

Кинетическая модель: реакция термического разложения, модель – полный автокатализ:

Кинетические параметры: =1.13*1011 с-1; Е1=123.45 кДж/моль: n1=0.96; =99.4 Дж/г; =8.39*1014 с-1; Е2=151.73 кДж/моль: n2=1.07; n3=1.14; =2819.5 Дж/г.

В результате моделирования программой ThermEx (режим – критический поиск, автоматическое определение критической температуры, граничные условия первого рода, одинаковые на всех поверхностях) получено решение: критическая температура составляет Tcr =950С, период индукции при этой температуре составляет τte = 13,7 дня.

Определим период индукции теплового взрыва при сверхкритической температуре 125оС для граничных условий первого рода (одинаковая на всех поверхностях, постоянная температура 125оС) и начальных условий: температура вещества и контейнера 20оС. Результаты расчета представлены на рис. 1.10 а-в. Период индукции в указанных условиях τte = 32 час., т. е. повышение температуры на 30оС по отношению к критической более чем в 6 раз сокращает индукционный период. Распределение температур (рис. 1.10 б, в) показывает, что максимальный разогрев локализован вблизи верхней крышки объекта, в то время как вблизи предела максимум наблюдается в центре. Таким образом, в анализируемых условиях реализуется переходный режим, занимающий промежуточное положение между классическим тепловым взрывом и зажиганием с поверхности.

а)

б)

в)

Рис. 11.10. Тепловой взрыв объекта при сверхкритической температуре

а) – зависимость максимально температуры (1) и максимальной конверсии (2) от времени; б) – температурные изолинии в продольном сечении объекта на 32 часе развития взрыва; в) – распределение температуры в продольном сечении объекта

Приведенный пример иллюстрирует поведение объекта, содержащего взрывчатое вещество, которое в результате внешнего нагрева (например, в условиях пожара) прогрелось до сверхкритической температуры.

11.4.2. Моделирование влияния контейнера на тепловой взрыв объекта

Рассматривается экзотермическое разложение твердого вещества в контейнере и без него. Кинетический эксперимент выполнен методом DSC при двух скоростях нагревания, формальная кинетическая модель двух последовательных реакций n –го порядка хорошо описала экспериментальные данные (рис. 11.11).