Программный комплекс "Тепловой взрыв" (стр. 82 )

               (12.37)

.

12.2.6. Теплообмен в стенках бака. Граничные и начальные условия

Предполагается, что стенка бака имеет одинаковую толщину, как на торцах, так и на боковой поверхности и выполнена из однородного материала. Для описания теплообмена в стенке используется двумерное уравнение теплопроводности:

               (12.38)

На внешней поверхности стенок бака возможно задание граничных условий 1-го, 2-го или 3-го рода по температуре с параметрами, в общем случае зависящими от времени, и смешанного граничного условия, включающего теплообмен по закону Ньютона и теплообмен излучением.

На внутренней поверхности стенок бака задаются условия прилипания и непроницаемости для уравнения движения и условие равенства нулю диффузионных потоков для уравнений переноса массы компонент:

               (12.39)

где индекс w соответствует величинам на внутренней поверхности стенки, а также условия непрерывности температуры и теплового потока для уравнения энергии.

На оси бака ставится условие симметрии:

               (12.40)

Как уже отмечалось, при решении сопряженной задачи для частично заполненного бака предполагается, что поверхность раздела газ – жидкость является плоской и неподвижной, частицы среды не переходят через поверхность раздела, влияние сил поверхностного натяжения пренебрежимо мало, а работа касательных напряжений на поверхности раздела мала по сравнению с переносом энергии теплопроводностью. Используя общие условия на поверхностях раздела фаз [44] и принимая во внимание сделанные допущения, получим следующие граничные условия сопряжения на межфазной поверхности:

               (12.41)

               (12.42)

где jv – плотность массового потока паров с поверхности раздела;

Lv – удельная теплота испарения;

индексы s+, s– соответствуют значениям по разные стороны поверхности раздела.

Для замыкания условия (12.40) необходимо иметь выражение для плотности массового потока паров. Поскольку температура поверхности раздела жидкость – газовая подушка зависит от радиальной координаты, то и искомая плотность потока пара различна для разных точек межфазной границы. С другой стороны, неравновесная кинетика испарения, необходимая для получения данной зависимости в подобных задачах, как правило, неизвестна. В связи с этим в условии (12.40) используется среднее по поверхности раздела значение плотности потока паров, полученное на основании описанного в предыдущем разделе квазистационарного подхода:

               (12.43)

где Sint – площадь поверхности раздела фаз, а масса паров определяется по формуле (12.31).

В качестве начальных условий задаются начальная температура, давление газопаровой смеси в подушке Pgh, состав нерастворимых газов и жидкой смеси, а скорости течения полагаются равными нулю.

Начальное распределение температуры в баке и распределение концентраций компонентов в жидкости считаются однородными. Задаются начальные значения температуры и массовых долей компонент. Жидкость в исходном состоянии считается неподвижной.

12.2.7. Теплофизические свойства

Для окончательной формулировки модели процессов тепломассообмена в баке необходимо определить теплофизические свойства, входящие в приведенные выше уравнения.

При проведении расчетов свойства стенок сосуда считаются известными постоянными величинами. Что касается свойств жидкости и парогазовой смеси, то предполагается, что они зависят от состава и температуры. При этом для расчета этих свойств, а также давления насыщенных паров жидкости используются модели, реализованные в программе MIXTURE комплекса TSS. Указанные модели базируются на рекомендациях справочного руководства [45], включающего в себя методики, основанные на принципе соответственных состояний, методах статистической механики и обобщении экспериментальных данных. Наряду с этим, в случае полностью заполненного сосуда предусмотрена возможность применения упрощенных моделей для расчета свойств жидкой смеси. При этом для расчета плотности и коэффициентов термического расширения смеси используются выражения (12.12, 12.13). Теплоемкость и теплопроводность предполагаются независимыми от температуры и аддитивно зависящими от состава:

               (12.44)

Для описания температурной зависимости коэффициента кинематической вязкости н индивидуальных жидкостей от температуры используется уравнение Andrade [32], справедливое в диапазоне температур от точки замерзания до точки кипения:

               (12.45)

где н* и Ен – константы для данной жидкости.

Коэффициент кинематической вязкости нm смеси определяется по формуле:

               (12.46)

где xi и – мольная доля и кинематическая вязкость компонента i.

При использовании формальных кинетических моделей, когда реальный состав смеси неизвестен, все физические свойства смеси, за исключением вязкости, предполагаются постоянными, а вязкость рассчитывается по формуле (12.42).

В заключение данного раздела следует отметить, что при формулировке приведенной выше модели теплового взрыва жидкостей основное внимание было уделено описанию конвективного теплообмена в жидкости и газовой подушке. Это связано с тем, что, как уже упоминалось, в инженерной практике при оценке термической опасности реакционноспособных жидкостей наибольшее распространения получили модели идеального перемешивания и поэтому, в первую очередь, ставилась задача учета влияния температурной стратификации в жидкости и газовой подушке на результаты подобных расчетов. В данном случае, модель, учитывающая конвекцию – следующий шаг по приближению моделируемого процесса к реальному в сравнении с моделью идеального перемешивания.

Вместе с тем, ряд физических явлений остается за рамками данной модели. Так, например, применение квазиоднокомпонентного приближения для газовой подушки не позволяет учесть влияние стефановского потока, возникающего при испарении в случае присутствия нерастворимых газов. Однако, последующие расчеты показали, что даже в случае интенсивного нагрева бака скорость испарения невелика и определенная на основании величины плотности массового потока паров характерная скорость стефановского потока в 100 раз ниже характерной скорости конвективного движения в газовой подушке, вызванного неоднородностью температуры.

Отметим, что трудности, возникающие при попытке построения более полной модели, наряду с возрастающими вычислительными затратами [46], связаны с отсутствием достоверных значений числовых параметров, требуемых для замыкания модели. Например, для разработки модели радиационного теплообмена, учитывающей взаимодействие излучения от стенок бака с газопаровой смесью и поверхностью раздела, требуются данные об их оптических свойствах, неизвестные для большинства подобных смесей. К настоящему моменту модели сложного теплообмена, включая теплообмен излучением, развиты преимущественно для задач моделирования пожара в помещении (горение газовых смесей) [47].

12.3. Алгоритмы и вычислительные методы задачи

12.3.1. Введение

Специфика задач моделирования процессов в баке с реагирующей жидкостью состоит в том, что для оценки безопасности необходимо проводить расчеты на больших временах (до сотен дней). При этом, в случае нормальных условий функционирования, изменение во времени полей искомых величин (температуры, концентраций, скорости) очень невелико, то есть задача очень близка к стационарной. В то же время, если реализуется режим теплового взрыва, то после длительного по времени, практически стационарного поведения системы, наступает участок с резким изменением искомых величин. Поэтому вычислительный алгоритм должен обеспечивать решение как стационарных, так и нестационарных задач на больших временах. Дополнительную трудность создает наличие в уравнениях нелинейных источниковых слагаемых, связанных с химической реакцией. Для того, чтобы справиться с названными проблемами, в поставленной задаче используются неявные алгоритмы с переменным шагом по времени.

Отдельную проблему представляет расчет поля течения. Традиционно большая часть работ, посвященных естественноконвективным течениям, использует алгоритм расчета, ориентированный на переменные вихрь-функция тока. Несмотря на то, что этот алгоритм хорошо исследован, описан в литературе и многократно применялся для подобных задач, он имеет ряд недостатков, связанных, в первую очередь, с проблемами, возникающими при постановке граничных условий для вихря и с трудностями при переходе к трехмерным течениям. Кроме того, формальный переход от системы (12.27) –(12.30) к переменным вихрь-функция тока предполагает постоянство физических свойств жидкости. Чтобы исключить названные проблемы, поставленная задача решается в физических переменных скорость-давление.

Решение производится методом конечных разностей в следующей последовательности: решаются уравнения энергии и переноса для компонент смеси, а затем уравнения движения. Конечно, эта система уравнений является связанной и нелинейной, что требует итерационного алгоритма, но введя соответствующие ограничения на шаг по времени удается обойтись одной итерацией, не жертвуя при этом быстродействием и точностью.