Программный комплекс "Тепловой взрыв" (стр. 60 )

На диагонали матрицы D стоят дисперсии параметров недиагональные элементы матрицы D являются ковариациями соответствующих параметров.

Зависимость данного параметра от всех остальных характеризуется фактором корреляции , определяемым соотношением:

               (10.23)

Случай = 1 означает независимость от всех остальных параметров, случай означает, что между параметрами существует линейная связь. Величина показывает во сколько раз дисперсия оценки параметра увеличивается из-за присутствия остальных совместно оцениваемых параметров:

               (10.24)

Для оценки дисперсионной матрицы параметров нелинейной модели [27] в точке абсолютного минимума целевого функционала выполняется аппроксимация f(x,) ее линеаризованным представлением в ряд Тэйлора, ограничившись только членами первого порядка. Коэффициентами этого разложения являются элементы матрицы Якоби:

               (10.25)

Тогда приближенная дисперсионная матрица параметров:

               (10.26)

где элементами матрицы М являются выражения:

               (10.27)

а оценка дисперсии имеет вид:

               (10.28)

Важным качеством метода минимизации целевого функционала, используемого в TSS, является то, что для этого метода расчет матрицы выполняется на каждой итерации (см. приложение 2) и поэтому получение оценки дисперсионной матрицы D{не связано с увеличением объема расчетов.

Знание дисперсионной матрицы дает интуитивное представление о качестве полученных оценок параметров. Для ее количественной характеристики требуется построение доверительных интервалов оценок. В настоящее время теоретически разработан вопрос об определении совместных доверительных интервалов только для случая совместного нормального распределения нескольких параметров [30].

Смысл построения совместных доверительных интервалов параметров заключается в определении одновременных значений всех параметров. Если для случая, когда оценивается только один параметр , имеющий нормальное распределение ошибки с дисперсией , то запись однозначно определяет 68,3% доверительный интервал, то в случае определения системы параметров такого соотношения уже недостаточно. В многомерном случае отклонение имеет вероятное содержание68.3% только в случае, когда не оцениваются доверительные интервалы для других параметров. В противном случае, доверительный интервал для i – го параметра следует определять: , где – зависит от корреляции между параметрами.

Доверительная область в пространстве параметров с вероятностным содержанием в имеет вид гиперэлепсоида с центром в точке соответствует матричному уравнению:

               (10.29)

где - точка для распределения [53].

Практическое построение и, в первую очередь, форма наглядного представления совместных доверительных интервалов оценок параметров является сложной и во – многом еще не решенной проблемой [57]. Поэтому в программах кинетического анализа комплексаTSS точность параметров определяется их дисперсиями и факторами корреляции. Тем не менее, наличие оценки дисперсионной матрицы D{позволяет получит оценку квадрата коридора ошибок функции f(x,

               (10.30)

10.6. Проблема множественности решения обратной задачи

10.6.1. Введение в проблему множественности

Иногда во время оценивания параметров кинетической модели может обнаружиться так называемая множественность решений, т. е. существование различных векторов параметров , …, которые в одних и тех же экспериментальных условиях, задаваемых вектором X, дают одинаковые значения целевой функции

Итак, множественность решений обратной задачи – ситуация наличия нескольких различных вариантов значений параметров, найденных в результате решения, которые дают равные значения принятой объективной функции.