Программный комплекс "Тепловой взрыв" (стр. 57 )

На возможность получения смещенных оценок параметров в результате выполнения процедуры линеаризации неоднократно обращалось внимание в весьма компетентных публикациях [27, 29-31]. Линеаризующие преобразования - классический метод химической кинетики. Самые различные линеаризующие преобразования используются в термическом анализе [32 и т. д.]. Поток подобных публикаций продолжается до сих пор, поскольку такие методы кинетического анализа весьма привлекательны своей простотой. Однако их принципиальная ограниченность применимостью только простыми реакциями, возможность получения смещенных оценок и, главное, общедоступность в настоящее время весьма совершенных методов кинетического анализа, реализованных в современном программном обеспечении, по нашему мнению, вряд ли делает необходимым интенсивные работы в этом направлении.

Нелинейные относительно своих параметров модели являются наиболее общим и самым распространенным типом кинетических моделей химических реакций. Работ, связанных с решением обратных задач применительно к такому типу кинетических моделей весьма много [13, 14, 17, 33, 34 и т. д.].

В TSS в программах решения обратных задач в качестве оценок параметров нелинейных кинетических моделей принимаются значения, обеспечивающее достижение минимума функционала (10.3). Необходимым условием его минимума является выполнение условия стационарности:

               (10.13)

Условия (10.13) образуют систему из m уравнений с m неизвестными (систему нормальных уравнений) для определения m компонент вектора оценки параметров вектора Достаточным условием наличия локального минимума в стационарной точке является положительная определенность матрицы вторых производных с элементами , i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, m [35]. В целом вычислительная задача определения оценок параметров нелинейных моделей гораздо сложнее, чем при оценивании в линейном случае. При этом основную трудность составляет проблема минимизации функционала (10.3). По своему содержанию – это типичная задача из раздела нелинейного программирования прикладной математики [36–38 и т. д.].

Сегодня арсенал прикладной математики располагает большим числом разнообразных методов решения задач оптимизации. Однако ни один из них нельзя признать универсальным, пригодным для эффективного решения поиска экстремума любых нелинейных функций. Большинство из таких методов практически пригодны для минимизации квадратичного функционала (10.3). Однако наиболее эффективными среди них являются те, которые используют специфический вид функционала (10.3), связанный с тем, что он является суммой квадратов [39]. К таким методам относится метод Гаусса – Ньютона [27]. Мы не будем погружать читателя в теоретические подробности проблемы оптимизации, учитывая ее специфичность и наличие большого числа публикаций, которые заинтересованный читатель легко найдет. Вряд ли пользователю TSS, не разрабатывающему, а использующему готовое программное обеспечение, потребуется знание таких деталей. Тем не менее, для интересующихся в приложении приведены описания методов оптимизации, реализованных в TSS.

Сразу же укажем на использование в TSS двух методов оптимизации:

модифицированного метода Ньютона-Гаусса [40, 41]; тензор – метода [42, 43].

Более подробно о математической сущности этих методов говорится в приложениях 2 и 3. Полезность наличия двух методов доказана практикой решения большого числа разнообразных прикладных задач. Оба метода основаны на линеаризации целевой функции разложением в ряд Тейлора и последующим итеративным решением оптимизационной задачи, где исходная целевая функция заменяется членами ряда.

Модифицированный метод Ньютона-Гаусса использует два старших члена ряда Тейлора. При этом удовлетворительное приближение целевой функции обеспечивается, если разложение сделано вблизи решения. Поэтому метод Ньютона-Гаусса быстро сходится к минимуму и гарантирует быстрое и точное оценивание параметров, если начальное приближение достаточно близко к искомому вектору. В противном случае этот метод может оказаться неэффективным.

Тензорный метод использует три старших члена ряда Тейлора. Это обеспечивает гораздо лучшее обнаружение направления спуска и поэтому ведет к более успешному старту оценивания даже с грубого начального приближения. Однако тензорный метод менее эффективен в окрестности минимума (требует большего числа итераций и приводит к менее точным оценкам). Поэтому наличие в арсенале TSS двух методов выполнения оптимизационного поиска позволяет пользователю оптимизировать процесс решения своей задачи. Выбор используемого метода оптимизации осуществляет пользователь, который может переходить от одного метода к другому в процессе решения своей задачи. Как правило, тензор – метод целесообразно использовать на старте, а метод Гаусса – Ньютона – для получения конечного решения.

Принципиально важным является не только выбор метода оптимизации, но и его программная реализация. В TSS используется программная реализация метода Гаусса – Ньютона в виде программы FUMILI, разработанной в Объединенном Институте Ядерных Исследований еще в конце 60 – х годов прошлого века [44-48]. Программа FUMILI уже более 50 лет активно используется учеными многих стран и подтвердила свою высокую эффективность. Учитывая определенную сложность в доступе к указанным источникам и важность рассматриваемого вопроса, мы посчитали полезным привести в приложении 2 описание основных алгоритмов программной реализации FUMILI. Здесь же отметим, что процедуру в сравнении с другими программами, реализующими метод Гаусса – Ньютона, отмечает ряд оригинальных разработок, обеспечивающих практический успех в ее применении, в частности, метод выбора корректирующего множителя шага с использованием аппарата ограничителя шага, наличие аппарата простых ограничений допустимой области изменения параметров типа неравенств, критерий останова поиска, учитывающий статистические погрешности параметров.

Сегодня существует огромное число программ для решения задач нелинейного программирования. Однако сравнивать их между собой теоретически по эффективности – проблема, сегодня не имеющая решения, поскольку эффективность любой программы (при этом нужно, конечно, определить само понятие эффективности) самым существенным образом зависит от свойств функции, рассматриваемой при оптимизации, способа вычисления производных, множества других факторов, а также от программной реализации используемого метода. Сопоставление эффективности программ обычно проводится на стандартных общепринятых наборах тестовых данных, например, базы тестовых функций нелинейного программирования NIST [49]. При этом основными критериями для сопоставления по эффективности являются:

успех в решении задачи минимизации – достижение известного значения экстремума; точность, т. е. степень достижения экстремума; число вычислений функции, необходимых для достижения экстремума.

Такие исследования были проведены в ходе разработки TSS на наборе тестовых функций из [27]. Во всех случаях высокая эффективность алгоритмов метода Гаусса – Ньютона в реализации подтверждена. Немаловажным для их высокой оценки является признанный на мировом уровне высочайший профессиональный уровень ее разработчиков, тщательность проработки кода программы, многолетний опыт ее успешного применения для обработки экспериментальных данных в такой признанной международной научной организации как ОИЯИ [48], факт постоянного развития программы, в том числе создание на ее основе кода для параллельных вычислений [47]. Мы успешно используем в кинетических исследованиях программу FUMILI более 50 лет.

Описание тензор – метода оптимизации приведено в приложении 3. Его важная и полезная особенность - возможность накладывать сложные ограничения типа неравенств на комбинации параметров:

               (10.14)

Здесь L() – любая линейная комбинация параметров. Используя такие ограничения, можно вводить дополнительные соотношения между некоторыми параметрами, что облегчает и ускоряет процесс поиска параметров.

10.4. Некоторые практические вопросы решения обратной коэффициентной задачи

Помимо проблемы выбора структуры целевого функционала и метода его минимизации при практическом решении обратной коэффициентной задачи возникают ряд проблем, требующих своего рассмотрения. К ним относятся:

выбор стартовых значений искомых параметров; выбор оптимальной формы параметров поиска; способ задания показателей точности, иначе, статистических весов измерений; выбор вида экспериментальных данных, используемых целевом функционале; проблема поиска глобального минимума целевого функционала; проблема решения прямой задачи.

10.4.1. Проблема выбора начальных значений параметров

Для решения обратной задачи способом минимизации целевого функционала требуется стартовое задание начальных значений искомых параметров. В зависимости от того, как выбраны стартовые значения параметров процесс поиска может приводить к значениям целевого функционала, соответствующих достижению глобального или локального минимума, или быть безрезультатным.

Если вектор начальных приближений находится вдали от экстремума (вектор на рис. 10.2), то отыскание направления к экстремуму может занять много времени. Напротив, если начальное приближение выбрано удачно (вектор на рис. 10.2), то искомое решение обратной задачи будет найдено быстро.