Программный комплекс "Тепловой взрыв" (стр. 75 )

11.3. Численное моделирование теплового взрыва в условиях чисто кондуктивного теплообмена

11.3.1. Постановка задачи в TSS

Основные уравнения. Рассматривается тепловой взрыв, происходящий в химически реагирующей однородной системе в условиях чисто кондуктивного теплообмена [17,18,21,22]. Процесс моделируется в результате решения системы нестационарных дифференциальных уравнений в частных производных, состоящей из уравнения теплового баланса и кинетического уравнения химической реакции.

Уравнение теплового баланса имеет форму нестационарного уравнения теплопроводности с химическим источниковым членом:

               (11.35)

где – плотность монолита твердой системы;

– ее теплоемкость;

л – коэффициент теплопроводности;

q – скорость тепловыделения.

Кинетическое уравнение в терминологии формальной кинетики имеет вид:

               (11.36)

где – степень превращения для i-ой реакции;

– ее скорость;

NC - число независимых реакций.

Вид выражения div(лgradT) в координатной форме определяется геометрией реагирующей системы [23]. В случае одномерной задачи:

               (11.37)

где к=2 для сферы, к = 1 для бесконечного цилиндра, к=0 для бесконечной пластины.

Для цилиндра ограниченной высоты (двухмерный случай):

               (11.38)

Для параллепипеда (трехмерный случай):

               (11.39)

Задание кинетики. При моделировании теплового взрыва в условиях чисто кондуктивного теплообмена используются только формальные кинетические модели, ранее описанные в 4.4.3. Рассматриваются несколько независимых реакций, идущих совместно. Каждая из независимых реакций может включать несколько параллельных и последовательных стадий.

Скорость i - ой реакции:

               (11.40)

скорость тепловыделения для всего процесса:

               (11.41)

скорость j-ой стадии в i-ой реакции:

               (11.42)

где индекс (j) относится к стадии j независимой реакции i;

тепловой эффект стадии j независимой реакции i;

–ее кинетическая функция, может использоваться любая кинетическая функция из множества кинетических функций системы TSS (см. главу 4);

– ее константа скорости, имеющая форму уравнения Аррениуса.

Начальные условия. Начальные условия определяют температурное поле реагирующей системы и состояние химической реакции в начальный момент времени. Предполагается, что температурное поле и состояние химической реакции в начальный момент времени пространственно однородны. Задаются (при t = 0) начальная температура реакционной системы и начальные степени превращения всех стадий реакции:

               (11.43)

Граничные условия. Граничные условия могут быть заданы четырьмя способами.

Граничное условие первого рода задается распределением температуры на поверхности тела = f(t) для любого момента времени. На поверхности в каждый момент времени решение должно удовлетворять заданному условию, при этом внутри тела температура может возрастать, уменьшаться или быть постоянной. Граничное условие второго рода задается поверхностной плотностью теплового потока в каждой точке поверхности тела для любого момента времени: .

Согласно закону Фурье, плотность теплового потока пропорциональна градиенту температуры:

               (11.44)

Поэтому при граничных условиях второго рода возможно задание градиента температуры на поверхности в каждый момент времени:

               (11.45)

Граничное условие третьего рода является условием конвективной теплоотдачи, когда поверхность тела омывается подвижным теплоносителем. В этом случае задается связь между градиентом температуры и температурой на поверхности, которая определяется законом теплоотдачи между поверхностью тела и окружающей средой в виде уравнения Ньютона:

               (11.46)

где –плотность теплового потока;

– коэффициент теплоотдачи;

–температура поверхности;

– температура среды.

Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность теплоотдачи. Он зависит от свойств окружающей среды и условий ее движения. При граничных условиях третьего рода на границе должно выполняться равенство:

               (11.47)

Физический смысл этого уравнения: чем выше температура поверхности, тем больше градиент температуры в теле на поверхности и, следовательно, тепловой поток с поверхности.

Комбинированное граничное условие, включающее в себя теплообмен по закону Ньютона и теплообмен излучением:

               (11.48)

где n – нормаль к внешней поверхности сосуда;

qa– тепловой поток;

е – приведенная степень черноты внешней поверхности;

у – постоянная Стефана-Больцмана (индекс w соответствует величинам на внешней поверхности стенки сосуда).

Значения температуры внешней среды, теплового потока и коэффициента теплоотдачи могут изменяться с течением времени. При этом значения указанных параметров в любой момент времени определяются путем кусочно-линейной интерполяции между заданными значениями.

Геометрия моделируемых объектов. Рассматривается широкий спектр объектов с различной геометрией (рис11.9):

объекты в виде прямоугольного параллелепипеда с химически инертной стенкой (ящик) и штабеля прямоугольной формы, составленные из одинаковых ящиков; ящики, мешки, брикеты или контейнеры прямоугольной формы, которые могут быть уложены в штабеля, являются типичными видами упаковки для хранения и транспортировки химических продуктов; объекты цилиндрической формы, которые могут иметь внешнюю оболочку и внутренние инертные коаксиально расположенные вставки, в том числе, размещенные вплотную к контейнеру, что позволяет моделировать многослойную стенку; возможно наличие плоских, конических, эллиптических крышек и крышек, представляющих собой сферические сегменты. Геометрия цилиндрического объекта с коническими или овальными крышками соответствует типовым формам контейнеров, часто используемых для хранения и транспортировки твердых и высоковязких веществ. Сосуды цилиндрической формы часто используются в стандартных методиках оценки термической опасности. одномерные объекты (пластина, бесконечный цилиндр и сфера) при наличии или отсутствии оболочки и внутренних инертных вставок из различных материалов, (в случае сферы и цилиндра, расположенных коаксиально).