Программный комплекс "Тепловой взрыв" (стр. 80 )

Для зависимости плотности от температуры применяется линейная аппроксимация:

               (12.8)

где коэффициент объёмного расширения;

- отклонение температуры от равновесного состояния;

— плотность жидкости при некоторой равновесной температуре

Поскольку и отклонение температуры обычно относительно невелико, то линейное приближение обладает приемлемой точностью в большинстве исследуемых задач.

Подстановка линейной зависимости плотности и перенормировка давления позволяют исключить слагаемоеg. Окончательно задача конвекции несжимаемой жидкости в приближении Буссинеска принимает следующий вид:

               (12.9)

               (12.10)

               (12.11)

Здесь кинематическая вязкость.

Приведённая задача конвекции при отсутствии химической реакции в жидкости в различных постановках неоднократно исследовалась. Наиболее широко известна задача Рэлея — Бенара о конвекции в плоском слое жидкости. При определённых условиях возможно точное решение задачи, например, для ламинарной конвекции в вертикальном слое при подогреве сбоку ("задача Гершуни") [38]. Однако все опубликованные результаты получены либо для многокомпонентных газовых смесей, либо для бинарных жидких смесей, причем в случае жидкостей ни в одной из известных работ нет формул, позволяющих замкнуть систему уравнений, используя данные о свойствах индивидуальных компонент.

Учитывая возможность значительного изменения во времени среднего уровня плотности и других свойств смеси для расчета тепломассообмена в жидкости далее используется метод модификации (редукции) давления и внешних сил, предложенный и и подробно описанный в [39].

Следуя [12], вводится модифицированное давление = P - , где P – давление, а – давление гидростатического столба жидкости, определяемое из условия равновесия , где g – ускорение свободного падения, – среднее по объему значение плотности смеси. Тогда сумма градиента давления и силы тяжести, входящая в уравнение переноса импульса смеси, может быть представлена в виде:

               (12.12)

где

       

Учитывая, что плотность в (12.12) является функцией только температуры и состава смеси (не зависит от давления) и принимая во внимание, что пространственные изменения плотности невелики, величина может быть приближенно вычислена путем разложения плотности в ряд Тэйлора в окрестности средних по объему значений температуры и массовых концентраций отдельных компонент смеси и отбрасывания всех членов разложения, кроме первого:

               (12.13)

где Nc – число компонент,

Сk - массовая доля компонента в смеси.

Для того чтобы воспользоваться соотношением (12.13), необходимо определить величины коэффициента изотермической сжимаемости βT и коэффициента . Для этого используется то, что для смеси жидкостей объем является аддитивной величиной и плотность смеси может быть рассчитана по формуле:

               (12.14)

Тогда, дифференцируя (12.14), получим:

               (12.15)

где через обозначен коэффициент изотермической сжимаемости отдельного (k-ого) компонента.

С учетом всех приведенных выше допущений, система уравнений, описывающая тепломассообмен в жидкости, примет вид [40, 41]:

уравнение неразрывности (несжимаемости):

               (12.16)

уравнение переноса импульса:

               (12.17)

уравнение переноса энергии:

               (12.18)

уравнение переноса массы отдельных компонент:

               (12.19)

               (12.20)

уравнение для скорости тепловыделения:

               (12.21)

уравнения скорости химической реакции для отдельной стадии и скорости расходования компонента в результате химического превращения:

               (12.22)

Следует отметить, что строгое определение потоков в многокомпонентных жидких смесях в общем случае является весьма сложной задачей. Если для бинарной смеси достаточно одного коэффициента диффузии для выражения пропорциональности между потоком и градиентом концентрации, то для многокомпонентной системы эта зависимость включает градиенты Nc–1 компонент. До сих пор не разработано надежных и универсальных практических методов расчета многокомпонентных коэффициентов диффузии для жидкостей [41]. С другой стороны, рассматриваемая математическая модель предназначена в первую очередь для определения критических условий возникновения теплового взрыва и изучения начальных этапов его развития при различных температурных воздействиях на резервуар. Для данного класса задач концентрации продуктов реакции малы, что позволяет считать их растворенными в исходной смеси, рассматриваемой в качестве растворителя, и использовать закон Фика с коэффициентами диффузии продуктов в смешанном растворителе. Методики расчета коэффициентов диффузии растворенного вещества через гомогенный раствор жидкой смеси растворителей известны и широко описаны [40].

Запись уравнений (12.19, 12.20) предполагает, что для описания химических реакций применяются дескриптивные кинетические модели. В этом случае полная скорость изменения массовой концентрации компонента определяется по уравнению:

               (12.23)

Однако, в связи с тем, что для представляющих практический интерес задач такие модели известны далеко не всегда, рассматриваемая математическая модель предусматривает также использование формальной кинетики. Для реакций в жидкостях, как правило, применяются кинетические функции двух видов: n-го порядка и автокаталитическая. В связи с тем, что формальные кинетические модели не несут какой-либо информации о реальном составе смеси, при их использовании в систему уравнений тепломассопереноса необходимо внести некоторые изменения. В частности, вместо концентраций отдельных компонент следует использовать конверсии, а соотношение (12.23) заменить выражением