Программный комплекс "Тепловой взрыв" (стр. 59 )

               (10.16)

Существенно, что такая замена переменных приводит к одному масштабу не только новые переменные и , но и частные производные целевой функции по этим параметрам и тем самым ускоряет сходимость процесса поиска решения.

Экспериментальное сравнение хода поиска с такой заменой переменных и без нее показало, что в первом случае поиск требует меньше итераций и выполняется с большей устойчивостью.

10.4.3. О показателях точности экспериментальных данных

Целевой функционал для своего определения требует задания точности экспериментальных данных. Каждый результат измерения отклика при экспериментальном исследовании рассматривается как случайная величина мерой разброса которой является ее дисперсия - среднее значение квадрата отклонений измеряемой величины от ее среднего значения:

               (10.17)

где n – число параллельных измерений;

– среднее значение результатов измерений.

Для определения необходимы результаты параллельных измерений, которые в кинетическом исследовании редко превышает 3, что делает малообоснованным придание статистического смысла значениям дисперсии, определенным экспериментально [54]. Построение кинетической модели обычно выполняется совместной обработкой эксперимента, выполненного с использованием разных методов эксперимента, по интегральным и дифференциальным формам кривых наблюдаемых откликов в различных температурно – временных условиях и, соответственно, такой эксперимент является неравноточным. Это отражает следующая форма целевого функционала, минимизацией которого определяются параметры кинетической модели:

               (10.18)

где m – число совместно обрабатываемых кинетических кривых откликов;

- число экспериментальных точек на кривой j;

– экспериментальное значение отклика в точке i на кривой j;

- расчетное значение отклика в точке i на кривой j;

– статистический вес экспериментального значения отклика в точке i на кривой j.

В TSS значения задаются пользователем при вводе экспериментальных данных. Чаще всего принимается, что все измерения выполнены либо с одинаковой абсолютной погрешностью, т. е.

               (10.19)

либо с одинаковой относительной погрешностью для кинетического отклика, т. е.

               (10.20)

10.4.4. Проблема поиска глобального минимума целевого функционала

Методы поиска минимума целевого функционала, о которых говорилось выше, способны привести в точку одного из минимумов, но не позволяют установить, единственный ли этот минимум и нет ли другого минимума (или нескольких минимумов), которые могут оказаться ниже. Если есть подозрение, что мы имеем дело с неунимодальным целевым функционалом, следует исследовать функцию сканированием и найти глобальный минимум.

Практически во всех случаях не представляется возможным выполнить достаточно полное теоретическое или численное исследование структуры поверхности отклика, соответствующей целевому функционалу. Решение подобной задачи весьма сложно и требует затрат времени существенно больше, чем само решение обратной задачи. Поэтому достаточно сложно получить строгое доказательство унимодальности целевого функционала в допустимой области изменения параметров. Нахождение глобального минимума чрезвычайно трудоемко, т. к. необходимо найти и сопоставить между собой локальные экстремумы при условии, что ни один из них не будет пропущен. Особенно сложно получить глобальное решение, когда целевой функционал имеет "овражный" характер [55].

Основная практическая рекомендация – это проведение поиска параметров с различных начальных приближений и сравнение результатов между собой.

10.5. Оценка погрешности определения кинетических параметров

Часто возникает вопрос о точности значений кинетических параметров, найденных в результате решения обратной коэффициентной задачи. В настоящем разделе мы попытались ответить на этот далеко не простой вопрос применительно к методам, используемым для этого в TSS.

Вектор и, найденный в результате решения обратной коэффициентной задачи, является точечной оценкой вектора истинных значений параметров . Поскольку он является случайной величиной, то наряду с задачей нахождения оценок параметров возникает проблема оценки точности полученных результатов, т. е. оценка погрешности и - . Эта задача по своей сущности является задачей определения доверительной области искомых параметров и, которая с заданной вероятностью содержит истинные значения Такая задача, в целом, является гораздо более сложной и трудоемкой, чем задача получения точечных оценок параметров. Ниже рассматривается общая схема и методологические подходы к ее решению, используемые в программах кинетического анализа TSS. При этом всегда нужно понимать, что построение доверительных интервалов оценок параметров не является конечной целью исследования, а только его промежуточным результатом, необходимым для решения очень сложной, но практически важной задачи оценки надежности заключения о термической безопасности целевого объекта в целом, т. е. построения доверительной области прогноза. Сразу укажем, что в данной монографии такая задача не рассматривается, да и какие – либо примеры ее постановки и решения нам неизвестны.

Обоснованное решение задачи оценки доверительной области найденных в результате решения точечных оценок кинетических параметров по экспериментальным данным возможно только при наличии определенной информации о статистических свойствах экспериментальных данных. Таких данных обычно нет и обычным используемым предположением является допущение соответствия экспериментальных измерений схеме Гаусса – Маркова [56]:

измерения проводятся в фиксированных точках значениям аргументов (в данном случае, во времени); измерения содержат только аддитивную ошибку (помеху), которая возникает случайно; ошибки измерений имеют нулевое среднее, т. е. отсутствует систематическая погрешность; ошибки измерений соответствуют нормальному закону распределения их вероятности.

Оценки параметров, полученные в условиях, когда измерения соответствуют схеме Гаусса – Маркова, обладают рядом важных свойств [29]:

несмещенностью, т. е. их математическое ожидание равно истинному значению параметра; эффективностью, т. е. они имеют наименьшую дисперсионную матрицу среди всех несмещенных линейных оценок; состоятельностью, т. е. оценки сходятся к своим истинным значениям с увеличением числа наблюдений; оценки имеют нормальное распределение.

Плотность вероятности для случая нормального распределения оценок параметров имеет вид

               (10.21)

где W – матрица весов, т. е. матрица, обратная к дисперсионной матрице D{}:

               (10.22)

где = – определитель весовой матрицы.