Дискретно-непрерывная математика (стр. 10 )

Нечетким числом (НЧ) А, как мы уже определили, называется нечеткое подмножество числовой оси , имеющее функцию принадлежности μА: →[0, 1], где — множество действительных чисел, — множество всех нечетких подмножеств числовой оси.

Нечеткое число называется нормальным, если

(1.7)

Нечеткое число называется выпуклым, если

х≤ у ≤ z,

(1.8)

Если то множество α-уровня нечеткого числа А

определится как

(1.9)

Подмножество называется носителем (суппортом)

НЧ А, если

(1.10)

Если А — выпуклое нормальное НЧ, то

(1.11)

где являются обратными функциями для возрастающей и убывающей частей μА(х) соответственно.

Унимодальное НЧ А называется положительным, если х SА, х > 0, и отрицательным, если х SА, х < 0.

Выпуклое НЧ А называется нечетким нулем, если

(1.12)

Расширенная бинарная арифметическая операция, обозначае­мая , для нечетких чисел определяется следующим образом:

(1.13)

Согласно (1.13) арифметические операции расширенного сло­жения, вычитания, умножения и деления над А, В, С, т. е. можно интерпретировать как

(1.14) (1.15) (1.16) (1.17)

Для расширенных операцийвыражение (1.13) при-

мет вид:

(1.18) (1.19)

Отношоиие порядка для почетких чисел имеет вид:

(1.20)

(1.21)

Отметим следующие свойства операций над нечеткими чис­лами:

Если А есть положительное или отрицательное НЧ и если В, С — оба положительные или оба отрицательные НЧ, тогда

Операцииявляются ассоциативными и коммута-

тивными операциями. Закон Де Моргана для имеет

вид:

Дистрибутивность:

Поглощение:

При решении практических задач всегда удобнее пользовать­ся множествами α-уровня для реализации арифметических операций над НЧ.

Можно доказать справедливость следующего утверждения.

Утверждение 1. Если α[0, 1] операция — яв­ляется расширенной бинарной операцией и нормальные унимо­дальные нечеткие числа имеют но­сители такие, что или то бу­дет справедливо следующее:

где

Таким образом, выражения (1.14) — (1.19) для положитель­ных НЧ примут вид:

(1.22)

(1.23) (1.24) (1.25)

(1.26) (1.27)

1.7.3. Нечеткие числа (L— R)-типа

При решении задач математического моделирования нечет­ких систем можно использовать нечеткие числа (L — R)-типа, которые предполагают более простую интерпретацию рас­ширенных бинарных операций. НЧ (L — R)-типа может быть задано с помощью функции принадлежности (L — R)-типа, удов­летворяющей свойствам

где L и R — невозрастающие функции на множестве неотрица­тельных действительных чисел.

Примерами (L — R)-функций могут служить р≥0,

Нечеткое унимодальное число А является НЧ (L — R) -типа тогда и только тогда, когда

где а — среднее значение (мода) нечеткого числа, а α, β — левый и правый коэффициенты нечеткости соответственно.

Тмким образом, НЧ можно представить в виде тройки параметров А =(а, α, β). (см. табл. 1.12)

Таблица 1.12

Носителем НЧ называется интервал

Толерантное НЧ (L — R)-типа определяется четверкой парамет­ром A =(a1, а2, α, β), где a1 и а2— границы интервала толерант­ности (см. табл. 1.1).

Рассмотрим операции с нечеткими числами (L — R)-типа.

Если то операции над нечеткими числами (L — R)- типа как частный случай (1.22) — (1.27) примут вид

1. Сложение НЧ:

(1.28)

2. Вычитание НЧ: если , то

(1.29)

3. Умножение 3 НЧ:

(1.30)