Дискретно-непрерывная математика (стр. 13 )

3. Операция ) + ( определена при том же условии, что и операция дополнительного вычитания.

4. В то время, как

( А)А≠0, A—A ,

имеет место равенство А— —В =0.

5. Если операция «— —» определена в обеих частях выражения, то А— —А (В— —С) ≠ (А— —В) — —G.

Неравенство справедливо, так как носитель левой части есть

( а1-b1+c1, а2 - b2+c2),

правой части

( а1-b1-c1, а2 - b2-c2).

6. Если операция А— —В определенная, то SА--b Sa-b. Действительно, согласно (1.39) носитель в левой части есть (а1-b1, а2 - b2), а в правой части (а1-b2, а2 –b1). Но а1-b1>a1—b2(b2≥ b1) и

а2—b≥a2—b2 (по той же причине), значит, утверждаемое справедливо. Поэтому число А-В является, по-видимому, «охватывающей» оценкой числа А— —В: А— —В A—В.

В ряде работ предложена схема приближенного решения нечеткого уравнения вида P1RP2, где P1 и Р2 — алгебраические выражения, которые включают нечеткие числа, а R — некоторое отношение. Если введенные выше дополнительные операции определены, то на их основе по данной схеме уравнения можно решать точно.

Получение условий существования точных решений нечетких уравнений даже в линейном случае достаточно трудоемко. Например, можно показать, что для существования точного нечеткого решения уравнения АХ+В=С, где А, В, С и А, В, С>0, необходимо, чтобы выполнялось условие b2— b1≤с2 —с1 и одно из условий:

а) если с1-b1≥ 0, то при (с2 -b2)/( с1-b1) ≥a2/a1 решение существует;

б) если с1—b1<0 и с2 —b2>0, то решение существует;

в) если с2—b2<0, то при (с2—b2)/(c1—b2)≤а2/а1 решение существует.

1.8.6. Дополнительные возможности решения уравнений.

Анализ показывает, что вопрос, аналогичный рассмотренному выше, изучался в рамках интервальной арифметики. Здесь, однако, предложенные операции дополнительного вычитания и деления, определенные для любой пары интервальных чисел SA=(а1, а2) и SB= (b1, b2). Например,

Sa ) — (Sb =(min{ а1- b1, a2-b2}, max{a1- b1, a2- b 2}). (1.50)

В ряде работ исследуется задача построения нечеткого отношения T X×Y по нечетким множествам A X и B Y, которые связаны с Т нечетким реляційним уравнением Y = X T, где

(1.51)

Выражение (1.51) определяет композиционное правило вывода. Доказано, что при заданных множествах X и Y выражению (1.51) удовлетворяет множество отношений Т.

1.9. Нечеткие функции

1.9.1. Виды нечетких функций.

Рассмотрим функцию f:R1→R1. Ее аргументом или значением может оказаться нечеткое число. В первом случае функция f обобщается до функции χ: →R1, а во второму — до функции φ: R1→.

Если и аргументы, и значения функции f — нечеткие числа, то

она обобщается до функции ψ: → .

Необходимо различать функцию типа φ и так называемый нечеткий пучок F функций f: X→Y, (X, Y R1), который определяется как нечеткое подмножество YХ, где каждая функция f имеет степень принадлежности μF(f) к пучку F.

Функции типа χ представляют интерес в основном в рамках задачи о выборе (см. п. 1.10.1). Здесь рассмотрим ряд задач, связанных с нечеткими функциями типов φ и ψ.

1.9.2. Интерполяция нечетких функций.

Обычно результаты опроса специалистов о функциональных зависимостях представляются таблицами. В связи с этим возникает задача интерполяции нечетких функций.

Пусть дано

х1, x2 R1, х2>х1 и φ1 = φ(x1) = μ(y, x1)/y,

φ2 = φ(х2)= μ (z, x2)/z,

где Si= (аi, bi) = - носитель нечеткого числа φi (i l, 2). Пусть х (х1,х2). Задача интерполяции состоит в определении нечеткого числа

φ = φ (x) = μ(t, x)/t, Sφ - носитель φ.

Исходя из того, что решение должно вычисляться как можно быстрее, а схема вычисления должна быть по возможности более простоя, построим ее на основе линейной интерполяции (рис. 1.10).

Рис. 1.10. Схема линейной интерполяции значений нечеткой функции четкого аргумента

Из подобных треугольников О1АО2 и О1ВО3 получаем

Аналогично

Тогда Sφ=(а, b).Величину μ(t, x) визначемо t0 Sφ выражением

(1.52)

где y0 и z0 делят носители S1 и S2 соответственно в той же пропорции, в которой величина t делит отрезок Sφ :

Аналогично

Таким образом, линейная интерполяция значений функции φ определена.

Функция ψ является нечеткой функцией нечеткого аргумента. Для нее интерполяция определяется на основе результатов по функции φ. Пусть даны:

Si — носитель нечеткого числа; Xi — интервал на R1; ψ1 = ψ(X1),

ψ2 = ψ(X2); ψ1, ψ2 , Ti — носитель нечеткого числа ψi. Число ψi можно представить в виде

где vi: R1→ — функция типа φ. Пусть X , S12 = S1 S2, носитель SX (inf S12, sup S12). Тогда задача интерполяции функции ψ состоит в определении нечеткого числа

Имея решение для функции φ, интерполяцию функции ψ выполняем по принципу обобщения:

Здесь v(x) исчисляется согласно (1.52) по исходным: X, X1, v1(X1), X2, v2(X2). Пусть SХ — носитель числа v(X), μx(·) - функция принадлежности v(X). Тогда

(1.53)

Способ вычисления φ(х) и v(x) на основе (1.52) очевиден; вычисление ψ(X) по (1.53) можно провести в соответствии с процедурой перебора, дискретизируя множества SХ, S1 и S2 с учетом необходимой точности результата.

В ряде работ приводится способ интерполяции нечетких функций, основанный на композиционном правиле вывода. Пусть даны пары нечетких чисел (Yi, Хi), которые таблично задают нечеткую функцию ψ: → . Построим нечеткое отношение T= Yi×Xi, где × - знак декартова произведения нечетких множеств. Пусть X — нечеткое значение аргумента функции ψ. Тогда ψ(X) =Х Т, где композиция X и Т вычисляется по (1.51).