Дискретно-непрерывная математика (стр. 108 )

( ) = {LS|L } = {Lx|L , x S} ,

так что есть правый идеал и К = . Дуальные рассуждения доказывают, что К= .

Пусть L и R . Очевидно, что множество LR будет идеалом и LR К. Следовательно, LR = К. Далее заметим, что если x L, то Lx L 2 L, и из Lx L следует, что Lx = L. Дуальное утверждение также верно, т. е. если x R, то x = R. Тот факт, что множество R L будет группой, доказывается следующим образом. Очевидно, □ ≠ RL R L и RL— полугруппа. Если x RL, то Lx = L и x = R согласно доказанному ранее. Следовательно, xRL = RLx = RL, так что RL — группа. Наконец, R L = (R L)e RL, где е — идемпотент в RL. Следовательно, R L = RL и поэтому R L есть группа.

Пусть х К, выберем L так, что x L. Очевидно, Sx - левый идеал, а также Sx SL L. Следовательно, Sx = L. Дуальные рассуждения доказывают, что x xS R.

3.15. Индуцированные отношения Грина

Введение. Обычные отношения Грина определяются для топологической полугруппы точно так же, как для алгебраической полугруппы. Они являются отношениями эквивалентности и будут замкнуты, если полугруппа S компактна. В случае топологических полугрупп эти отношения, как и для алгебраических полугрупп, служат одним из фундаментальных средств изучения строения полугруппы. Укажем, например, теорему Хофманна — Мостерта (теорема 4), результаты о построении минимального идеала компактной полугруппы, полученные в результате изучения D класса (см. теоремы 11, 12), теорему Щютценберже об H классах, принадлежащих общему D классу (см. теорему 13). Уоллес определил относительные идеалы и индуцированные отношения Грина и обобщил на них в топологическом случае многие из имеющихся результатов.

Пусть S — полугруппа и TS обозначает подмножество. Отметим, что, вообще говоря, Т не является подполугруппой полугруппы S.

8. Определение. Для элементов х, y S определим (х, у) LТ тогда и только тогда, когда Т1х = Т1у; (х, у) RT тогда и только тогда, когда хТ1=уТ1; (х, у) FT тогда и только тогда, когда Т1хТ1=Т1уТ1; HT=LТ RT и DT=LТ°RT. Определенные здесь отношения LТ, RT, HT, FT и DT называются индуцированными отношениями Грина полугруппы S. Если Т=S, мы получим обычные отношения Грина, определенные Клиффордом и Престоном. Нижний индекс писать не обязательно, мы используем его здесь, чтобы подчеркнуть, что рассматриваются индуцированные отношения. Для элемента x S символы Rx, Lx, Dx и Нх обозначают RT класс, LТ класс, DT класс и HT класс соответственно, что содержит х.

Согласно следующей лемме классы индуцированного отношения обеспечивают разложение классов обычного отношения Грина. Это указывает одну из причин, по которой следует считать полезным введение индуцированных отношений, но, кроме того, они являются достаточно мощным техническим инструментом. Многие теоремы об обычных отношениях Грина обобщаются на индуцированные отношения, если Т выбирается таким, что Т = Т*, а также в случае, когда Т2 Т.

6. Лемма. Для любого подмножества ТS каждый класс эквивалентности обычного отношения Грина LS является объединением LТ классов, т. е. LТ LS. Аналогично

RТ RS , FТ FS , HТ HS , DТ DS.

11. Теорема. Если х, y S и xy Rx Ly, то Ry Lx = Не для некоторого е Е и Не является подгруппой в S. К томк же НxНy = Нxy =Rx Ly.

Если еще Т2 Т и хТ Ту Т, то имеет место диаграмма egg-box Клиффорда, которая изображена на рис. 3.15.

Рис. 3.15.

Ее строки обозначают RТ классы, столбцы обозначают LТ классы и все они принадлежат DТ классу. Если e Е , x Le и y Re, то xy Rx Ly. Здесь никакие допущения о множестве Т не делаются.

12. Теорема. Пусть S — компактная полугруппа и Т— замкнутое подмножество. Пространство Z=S×S×S с законом умножения, определенным из равенства (х, у, z) (x', у', z') = (х, yzx'y', z'), является полугруппой, отображение f : Z→S, где f(х, у, z)=xyz, есть гомоморфизм. Если

е Е (S) и Ze = (Le Е) ×Не× (Re E),

то f|Ze будет гомеоморфизмом в S. Следовательно, f|Ze будет изеоморфизмом в S.

Положим Н = Hf|f E (S)} и Ме = {x S|ex, xe H}. Определим

u : Н → Е, полагая u(х) единицей для Hf, где Hf есть HТ класс, который содержит х. Отображение u непрерывно, следовательно, отображение g:Ме→Z, задавемое соотношением g(х)=[u(хе),ехе,и (ех)], непрерывно и отображение g|f (Ze) является обратным для f.

Если Ze - подполугруппа (а это так, когда De H), то отображение f|Ze — изеоморфизм.