Дискретно-непрерывная математика (стр. 106 )

N (x) А A'. Теорема доказана.

Прежде чем идти дальше, отметим, что доказательство замкнутости А зависело только от компактности N(х), и точно таким же способом можно доказать, что для любого компактного подмножества N(х) полугруппы S множества {x S|xNN}, {xS|xNN}, {xS|NxN} и {x S| Nx N} замкнуты.

7. Определение. Действием называется полугруппа S, пространство X и непрерывное отображение

S × X→ X,

которое, как правило, не обозначается никаким символом (образ пары элементов s и х обозначается просто как sx) и удовлетворяющее соотношению

t1 (t2x) =( t1 t2) х

для любых t1, t2 S и любого х Х.

Читатель, знакомый с теорией автоматов, сразу обнаружит, что действие есть в точности непрерывный автомат. Действия играли ранее вспомогательную роль в различных результатах, таких, как лемма 3, и только позднее они стали предметом детального изучения. Следующая лемма представляет собой исключительно полезный инструмент для изучения строения топологических полугрупп и принадлежит Уоллесу. Она носит нескольео неестественное, на наш взгляд, название - лемма об опухоли (опухолевой леммы).

Лемма 3. Предположим, что S действует на X, xS и Г (х) компактно. Пусть А — такое компактное подмножество в X, что х А. Тогда хА = А и для каждого элемента у Г (х) отображение a →уа является гомеоморфизмом А на А. Следовательно, идемпотент в Г (х) есть элемент, действующий как единица на А.

Доказательство. Так как хА А, то х2А х A А, и по индукции

хпА A для всех п ≥ 1. Следовательно, {хп| п ≥ 1} {y S | у А } и последнее множество замкнуто (см. замечание после доказательства теоремы 8), поэтому Г(х) {y S|у А}. Так как Г(х) — компактное множество, то по теореме 8 существует идемпотент е N(х) и согласно предыдущему предложению eAА. Из этого следует, что для каждого а А выполняется равенство еа=а (так как если а еА, то а=еb для некоторого bА и, следовательно, еа=e2b=eb=a). Поэтому а→ еа — тождественное отображение множества А и, в частности, еА = А.

Для того чтобы убедиться, что уА = А для любого элемента

у Г (х), мы должны еще доказать, что yA А. Для этого заметим, что

уА = yeА, yeN (х), так как N (х) — идеал в Г (х) и N (х) — группа. Тогда существует элемент (уе)-1 N (x), такой, что (уе) (уе)-1 = е. Нам известно, что (ye)-1AА, следовательно, (ye) (ye)-1AyeА, т. е. A yА. Таким образом, уА = А. Наконец, а→ уа такое же отображение, что и а → yea, это отображение является гомеоморфизмом, так как оно отображает А на А и обратное ему отображение а→(уе)-1а непрерывно.

3. Приложения леммы. 1) Предположим, что S — компактная полугруппа, Т=S×S — обычное декартово произведение и умножение в Т определяется соотношением

(х, у)(х',у')=(хх',у'у).

(Заметим, что умножение, определенное в полугруппе Т, не совпадает с законом умножения в умножении полугрупп, введенном в определении 3, т. е. Т не является произведением (умножением) полугрупп S. Полугруппа Т нужна нам для того, чтобы определить некоторое действие.) Очевидно, что Т — компактная полугруппа и с учетом умножения, определенного в Т, она действует на S, а именно

[(х, у), s] → xsy.

Если А и S компактны, A S, и если хАуА для некоторых элементов х, y S, то х'Ау' = А для всех элементов (х', у') Г (х, у) [здесь Г (х, у) — это Г ((х, у)) для элемента (х, у) полугруппы Т], в частности, S содержит левую и правую единицы для подмножества А.

Доказательство. Полугруппа Т компактна, так как компактна полугруппа S. Тогда по лемме 3 (х', у') А = А для каждого элемента (х′, у') Г (х, у), т. е. х'Ау' = А. Если (е, f) — идемпотент в Г (х, у), то eAf = А, откуда получаем еА = А = Af, так что е и f— левая и правая единицы соответственно для множества А. [Здесь существенно используется тот факт, что е и f — идемпотенты, так как, вообще говоря, из равенства хАу = А не следует, что хА = А или Ау = А. Кроме того, Г (х, у) — всего лишь подмножество в Г (х) × Г (у), поэтому нельзя утверждать, что х'Ау' = А для каждых х' Г (х) и у' Г (у).]

2) Компактная полугруппа S является устойчивой, т. е. из условий baSaS для любых a, b S следует, что baS = aS, и из условий SabSa для любых a, b S следует, что Sab = Sa. (Устойчивость означает, что отношение Грина D и F на полугруппе S равны).

3) Если S — компактная полугруппа и xS = S для некоторого элемента x S, то S содержит левую единицу— идемпотент в Г (х).

4) Если S— компактная полугруппа, х А = A* S и xA A, то Г (х) есть группа, которая содержится в А. Наиболее важная сторона этого результата заключается в том, что А не обязательно будет подполугруппой.