Дискретно-непрерывная математика (стр. 82 )

Доказательства пунктов б)—г) примерно такие же.

3.7. Утверждение. Пусть α будет любым из следующих символов: CM, GGM, RLM или LLM.

а) Если и следующая диаграмма коммутативна

б) Если Т — подполугруппа полугруппы S, то

в) Если

Доказательство, а) Будем доказывать пункт а) для α = GM. Ос­тальные случаи разбираются аналогично. Пустьесть регу­лярные некомбинаторные F классы полугруппы Т. Тогда

В силу предложения 3.4 существует отдельный некомбинаторный регулярный F класс Jі полугруппы S, такой, что

для каждого i = 1, ..., т. Поэтому для каждого i = 1, ..., т получаем равенство φiGM =GM ψi. Пусть — регулярные некомбинаторные F классы полугруппы S. Тогда

.

Пусть П — пpямое произведение первых т отображений проекции для

Тогда

Очевидно, что приведенная диаграмма коммутативна.

б) Покажем теперь, что если Т — подполугруппа полугруппы S, тo Пусть Мы должны показать, что . Пусть Тогда доста­точнопоказать, что для) справедливо соотношение (mod QS(GM)). Предположим, что (mod QТ(GM)). Тогда существуют F класс J полугруппы Т и элементы х1, x2 J, такие, что или

или

где J' есть F класс полугруппы S, содержащий J,

или

В случаях 1 и 3

так что

Вслучае 2 . и снова получается, что

(mod QS(GM)).

Следовательно, если TS, то Доказательство для α= GGM проводится точно так же, а аналогичные доказательства с ис­пользованием пункта а) утверждения 3.3 проводятся в случаях, когда α = RLM и LLM.

в) Этот пункт следует из пунктов а) и б).

3.8. Определение. Пусть α — одно из отношений Будем говорить, что есть α' гомоморфизм (и писать если для всех регулярных элементов s1, s2 S из равенства вытекает, что s1αs2.

Пусть — совокупность пар (φ, Т), таких, что φ есть α' гомоморфизм. Отметим, что если S регулярна, то

3.9. Утверждение. а) Если для Если

— подполугруппа полугруппы S, то ограничение φ на S1 будет α' отображением для α = L, R или H1 (этот результат верен также для α =F ).

б) Пустьи предположим, что J — регулярный F класс

полугруппы S. Тогда φ (J) будет F классом полугруппы Т и J —единственный регулярный и единственный минимальный F класс по­лугруппы S, содержащийся в

в) S имеет минимальный гомоморфный образ относительно P (S, α') [это обозначается как для. В действительности

и индуцируется

Следовательно, если S есть RLM полугруппа, то', и если

S есть LLM полугруппа, то

тогда и только тогда, когда из условия, что s1 и s2 —

регулярные элементы полугруппы S, такие, что φ(s1)αφ(s2), вытекает соотношение где Следовательно, φψ будет α' гомоморфизмом тогда и только тогда, когда φ и ψ будут α' гомо­морфизмами.

д) Если для .

Доказательство, а) Первое утверждение пункта а) очевидно. Пе­рейдем ко второму утверждению. Пусть s1, s2 — такие регулярные эле­менты полугруппы S, что Так как φ является α' гомо­морфизмом, s1αs2 в S. Но в силу пункта а) утверждения 3.3 s1αs2 в S1. Следовательно, ограничение φ на S1 будет α' гомоморфизмом.

б) Так как φ есть гомоморфизм, существует такой F класс J1T, что и так как класс J регулярный, то класс J1 также регулярный. Тогда в силу утверждения 11 из предыдущего микромодуля φ-1 (J1) является объединением F классов полугруппы S с единственным минимальным классом J' и φ(J')=J1. Класс J' регулярен, так как J1 регулярен и, следовательно, существуют элементы х J и х' J', такие, что φ (x) = φ (х'). Так как φ есть α' отображение, получаем, что хαх', от­куда в свою очередь вытекает, что хFх'. Следовательно, J = J'. Если J"— произвольный регулярный F класс полугруппы S, содержащийся φ-1[φ(J)], то из тех же самых рассуждений вытекает, что J = J". Следовательно, J — единственный регулярный F класс, содержащий­ся в