Дискретно-непрерывная математика (стр. 99 )

в) Предположим, что утверждение этого пункта неверно. Тогда из доказательства пункта б) следует, что последний член Т = G или G0. Но если Так как IG (G) ={0} и IG (G0) = {0}I, мы получаем противоречие. Тем самым ут­верждение полностью доказано.

Доказательство леммы 2.30. Пусть θ(s) = п. Тогда для S сущест­вует GGM — RLM последовательность:

(2.8)

где GGMn = G или GGMn = G0 (согласно пункту б) утверждения 2.31). Если то Следовательно, ограничение последовательности (8) приводит к

и каждый член IG (GGMi), i = 1, ..., п—1, является GM полугруппой (см. пункт а) утверждения 2.31). Следовательно,

Предположим теперь, что Тогда для IG (S) сущест-

вует последовательность с п GGM полугруппами, оканчивающаяся

членом (см. пункт в) утвеожления 2.31). В силу утверж-

дения 2.23

Но

из этого следует существование для полугруппы S последовательности, n-й RLM член которой {0}I. Это противоречие, так как θ(S) = п и все максимальные последовательности для S должны оканчиваться GGM полугруппой. Следовательно,

2.32. Лемма. θj = θ.

Доказательство. Пусть Положим су-

ществует элемент х X, такой, что Пусть отображение определяется соотношением

Положим

Теперь ' и, следовательно, по предложению 3.17 из гл. микромодуля 9.

(2.9)

где

Роудзом было доказано, что

(2.10)

Пусть М— матричное представление полугруппы S (не обязательно вполне приводимое). Роудз доказал, что

Тогда из предложения 3.17 в микромодулe 9 следует, что если {R}— совокуп­ность матричных представлений полугруппы S и то

(2.11)

Роудзом получен также результат: является линейной

оболочкой для и

(12)

Кроме того, если так чтото Н (X) есть F

гомоморфизм и

(2.13)

Из определения отображения следует, что для

(2.14)

Докажем теперь, чтоВ силу соотношения (10)

и в силу соотношения (2.9)

.

Кроме того, согласно равенству (2.11)

Но из (2.14) получаем и, следовательно,

Продолжая теперь действовать таким же образом для вычисления и применяя формулы (2.12)—(2. 14), мы находим, что первое целое число п, для которого справедливо соотношение

(т. е. равно первому целому числу п, для которого справедливо включение Но это последнее число равно индексу В. Следовательно, Это доказывает лемму 2.32 и завершает доказательство основной теоремы 2.5.

3. Следствие теоремы

Мы обозначим единственную функцию G сложности для полугрупп, являющихся объединением групп, относительно GM полугрупп как В этом пункте снова рассматриваются только полу­группы, являющиеся объединением групп, если противное не оговоре­но.

3.1. Следствие (непрерывность сложности по отношению к гомо­морфизмам).

в) Пусть — некоторый эпиморфизм, и

Тогда существуют такие эпиморфизмы что φ есть их композиция и

для j = k,...,n.

Доказательство, а) Если Следовательно

последовательность (д) для Т идентична после первого γ отображения последовательности для S. Следовательно,

б) Пусть

есть последовательность максимальной длины этого типа для полу­группы S. Теперь поскольку имеем

так что

есть последовательность типа (е) для Т. Тогда С другой стороны,

в) Так как эпиморфизм можно разложить в последо-

вательность чередующихся у гомоморфизмов и X гомоморфизмов (см. теорему 1.14 в микромодуле 9), требуемый результат следует из пунктов а) и б).

3.2. Следствие (непрерывность сложности по отношению к под­полугруппам).

а) Если Т — максимальная собственная подполугруппа полугруп­пы S, то

б) Пусть

тогда существуют подполугруппы

такие, что для j = k, ..., п.