Дискретно-непрерывная математика (стр. 84 )

и то и так как из этого вытекает, что т. е.

Но тогда по лемме 3.11 гомоморфизм, являющийся γ гомоморфизмом на В(J1), будет γ гомоморфизмом и на В(J1) комбинаторна,

поэтому нулевой гомоморфизм будет γ гомоморфизмом на В(J1) и, следовательно, он взаимно однозначен на подгруппах из J1. Это про-

тиворечие. Таким образом, тогда и только тогда, когда

для всех Покажем теперь, что если то

По теореме Риса в силу свойств переносов 0-простых полу­групп (см. утверждение 13 из предыдущего микромодуля)и существуют z1,z2,а1,а2 J1, такие, что лежат в одной максимальной подгруппе из J1 и Так как φ будет взаимно однозначным на подгруппах и имеем b1 = b2, так что Следовательно, для всех х1,х2 J1 или лежат в В(J1), или Та­ким образом,

Пусть теперь по предложению индукции из равенства φ (s1) = φ (s2) вытекает, что для всех таких i, что 1 ≤ i ≤ j < k. Мы должны показать, что из равенства φ (s1) = φ (s2) выте­кает Если ψj будет взаимно однозначным на подгруппах из Jj+1, то,

и в этом случае переход по ин­дукции к следующему номеру получается тривиально. Следовательно, Пусть Мы покажем сейчас, что тогда и только тогда, когда Предположим, что Тогда и — максимальный идеал в поэтому

В силу леммы 3.11, поскольку φj является взаимно однозначным на подгруппах из В(Jj+1), ψj будет взаимно однозначным на подгруппах из Jj+1. Это противоречие. Но тогда, действуя так же, как раньше, получаем, что Предложение доказано.

3.13. Замечание. а) Если то

б) Пусть

и предположим, что J — регулярный F класс полугруппы S. Тогда ограничение φ на любой H класс полугруппы S, принадлежащий J, будет взаимно однозначным отображением. Следо­вательно, если S — регулярная полугруппа, то φ будет γ гомоморфиз­мом тогда и только тогда, когда φ будет γ(H) гомоморфизмом. Это следует из замечания 5 предыдущего микромодуля.

в) Пусть S — 0-простая полугруппа. Тогда

г) Пусть R — подполугруппа полугруппы S и Тогда ограничение φ на R будет γ гомоморфизмом. Следовательно, и поэтому

д) Неверно, что если S | Т, то Это объясняется тем, что из T→→S не следует, что Пусть G ≠ {1} — группа и

Пусть Тогда задается соотношением (g, х) → (g, 0), поэтому Множество G × {0} будет идеалом полу­группы S итак что полугруппа не делит группу

3.14. Определение. Пусть P (S, γ, F) обозначает совокупность таких пар (φ, Т), что φ есть γ гомоморфизм и F гомоморфизм, φ мы назовем (γ + F) гомоморфизмом.

3.15. Предложение. Полугруппа S имеет минимальный гомоморф­ный образ относительно P (S, γ, F), обозначаемый как S→→S γ + F. Для S γ + F имеются две формулы.

а) Пусть. Положим (φ×ψ)∆:S→Sγ×SF.

Тогда Следовательно,

б) Пусть S — регулярная полугруппа. Тогда Sγ+F = SGGM.

в) Пусть S — регулярная полугруппа. Если

и следующая диаграмма коммутативна:

г) Пусть S и T — регулярные полугруппы. Тогда если T|S, то

Доказательство, а) Очевидно, что есть , гомо-

морфизм. Наоборот, пусть Q2 и Q2 — отношения конгруэнтности на S, индуцированные φ и ψ соответственно. Тогда Q1 ∩ Q2 индуци­руется отображением Еслиесть любой (γ+F) гомоморфизм, то QQ1 и QQ2, так что Следова­тельно, будет минимальным гомоморфным образом относительно

б) Пусть J1, ..., Jn будут F классами полугруппы S. Так как GGM — взаимно однозначное отображение на подгруппах из Ji, i =1, .... п, ПGGM будет у гомоморфизмом. Пользуясь определением GGMJ, легко показать, что nGGM будет F гомоморфизмом. Сле­довательно, ПGGM есть гомоморфизм.