Дискретно-непрерывная математика (стр. 113 )

а = с1с2...сп, где cі есть элемент соответствующей циклической группы, расположенной вокруг идемпотента и. Очевидно, что а2=c1c2... спс1с2...сп и так же, как и все степени элемента а, принадлежит

Gи (этих степеней, разумеется, конечное число).

Для каждого i существует элемент cі-1 Gu, такой, что cі-1cі =cі cі-1=и. Тогда элемент а-1= cі-1cп-1-1… c1-1, как и все его степени, которых имеется конечное число, принадлежит Gu. Очевидно, что аа-1= а-1а = и. Множество, состоящее из элемента и, всех степеней элемента а и всех степеней элемента а-1, является, следова­тельно, конечной группой с единичным элементом и, так как оно удов­летворяет всем необходимым аксиомам; эта группа должна совпадать со своей циклической подгруппой, порожденной элементом а. Поэтому мы доказали, что каждый элемент из Gu принадлежит циклической группе, единицей которой является и. Следовательно, Gи есть теоре­тико-множественное объединение циклических групп. То, что Gu есть группа, проверяется непосредственно.

Рассмотрим теперь произвольную подгруппу G, расположенную вокруг идемпотента и. Для каждого элемента a G циклическая под­группа в G, порожденная а, содержит и в качестве единицы и должна, следовательно, быть подгруппой в Gu. Но так как группа G есть объ­единение таких циклических подгрупп, G представляет собой подгруп­пу группы Gu.

Теорема 11. Подгруппы, которые расположены вокруг различных идемпотентов, не пересекаются.

Доказательство. Предположим, что G1 и G2 — группы, расположен­ные вокруг идемпотентов и1 и и2, причем и1 ≠и2. Пусть а G1 и a G2. Это предположение приводит к противоречию сразу по нескольким причинам. Одна из них заключается в том, что и1 и и2, оба должны быть степенями элемента а, но это невозможно по теореме 7. (Теорема 11 остается верной и для бесконечных моноидов. Доказательство этого случая оставляем читателю.)

Теперь мы изложим вычислительную процедуру для получения всех максимальных подгрупп моноида, основывающуюся на теоремах 7—11. Начнем с произвольного элемента а моноида. Определим числа п (a), q (а) и т (а), которые дают нам информацию о том, что an(a),…,ап(а)+q(а)-1 — попарно различные элементы, принадлежа­щие максимальной подгруппе, расположенной вокруг идемпотента ат(а) и что элементы а, а2, ..., ап(а)-1 вообще не принадлежат ни­какой подгруппе.

Затем выберем произвольный элемент b, не являющийся степенью а, и проделаем то же самое для b, найдя циклическую группу, распо­ложенную вокруг идемпотента, являющегося степенью b. Этот идем-потент может совпадать с найденным ранее идемпотентом, и тогда все элементы построенной циклической группы будут элементами пост­роенной ранее циклической подгруппы. Если же новый идемпотент не совпадает с построенным ранее, то циклические группы этих двух идемпотентов не пересекаются.

Построение проводится до тех пор, пока не будут исчерпаны все элементы моноида, т. е. пока каждый элемент не будет включен в какую-либо циклическую полугруппу. Таким способом будут получены все максимальные группы в моноиде. Результат проделанной операции заключается в делении моноида на его максимальные подгруппы и на смешанный набор элементов, которые не принадлежат никакой группе.

Применяя описанную процедуру к моноиду, изображенному на рис. 3.20,б, берем а=0. Мы получаем последовательность степеней 0, 02, 03=0; следовательно, п(0)=1, q(0)=2, идемпотентом оказывается элемент 02=λ, а циклической группой, которая расположена вокруг λ, будет множество {0, λ}. Затем выбираем b=1, последовательность степеней элемента b имеет вид 1,12,13,14=1, поэтому п(1) = 1, q(1)= 3. Циклической группой, которая расположена вокруг идемпотента 111, будет множество {1, 11, 111}. Больше элементов в моноиде нет, следовательно, он состоит из двух максимальных подгрупп, обе они циклические и любой элемент моноида принадлежит одной из них Заметим, что если нашу процедуру применить к моноиду, который изображен на рис. 3.19,б, то каждый раз будет появляться один и тот же идемопотент λ. Существуют четыре различные циклические группы { λ, 0}, { λ, 1}, { λ, т}, { λ, 01, 10}. В моноиде нет элементов, лежащих вне един­ственной максимальной подгруппы, расположенной вокруг λ, т. е. моноид является группой. Читатель, знакомый с теорией групп, не должен, конечно, применять вычислительную процедуру для установ­ления этого факта. Из рис. 3.19,б ему должно быть сразу ясно, что здесь имеется симметрическая группа перестановок трех элементов.

Применим нашу процедуру к моноиду, изображенному на рис. 3.19. Мы можем начать с 0, получим 0, 02, 03 = 02, с п (0) = 2, q (0) = 1. Следовательно, 0 не является элементом никакой подгруппы и вокруг идемпотента 02 расположена тривиальная подгруппа. Аналогично 1 не является элементом никакой подгруппы, но она порождает три­виальную подгруппу, расположенную вокруг 11. Продолжая вычисле­ния, мы найдем, что каждый из оставшихся элементов будет идемпо­тентом и нетривиальных подгрупп не существует.

Микромодуль 13.

Нечеткие композиции

В этом микромодуле предлагаем читателю познакомиться с законами нечеткой композиции. Среди этих законов наиболее общими и полезными являются те, которые образовуют моноид (полугруппу), т. е. имеют единичный элемент и ассоциативны. Кроме того, покажем, что структура группы не подходит для основных операций, рассмотренных в теории нечетких подмножеств, - понятие симметрии нечетких подмножеств не определяется для операторов этой теории.

Известно, что подлинная важность теории моноидов или полугрупп проявляется там, где есть связь с теорией информации, кодами, системами команд и т. д.

3.16. Основные понятия закона композиции

Вспомним несколько классических понятий теории обычных множеств.

Закон внутренней композиции. Законом внутренней композиции на множестве Е называется отображение из Е×Е в Е. Иначе говоря, каждой упорядоченной паре (х, у) Е×Е ставится в соответствие один и только один элемент z Е.

На практике этот закон изображают символом, который, располагаясь между х и у, служит для обозначения элемента, соответствующего упорядоченной паре (х, у). Часто используют символ *. Таким образом,

х *у = z;

на практике для разновидностей законов используют подходящие общепринятые символы такие как: +, · , ×, , и. т.

Отображение Е × Е в Е часто удобно изображать условным знаком, связанным с элементами Е:

(х, у) ~→ z, х, у, z Е.

Закон внешней композиции. Пусть х Е1; у Е2 и z Е3. Отображение Е1 × Е2 в Е3 называется законом внешней композиции. Другими словами, каждой упорядоченной паре (х, у) ставится в соответствие элемент z Е3 и только один такой элемент.

Закон композиции будет внешним тогда и только тогда, когда

Е1 = Е2= Е3

Примеры.

1. Пусть Е1 = Е2 = R (множество действительных чисел); если в качестве закона выбрано обычное сложение +, то этот закон внутренний, так как сумма двух действительных чисел — всегда действительное число; действительно, имеем Е3 = R

2. Пусть P (Е) — обычное множество всех подмножеств некоторого множества; тогда операции пересечения, объединения, разности и дизъюнктивной суммы определяют внутренние законы.

3. Если Е1 = Е2 = R+ (множество неотрицательных чисел) и если закон состоит в вычислении разности х — у = z, х, у R+, то получаем внешний закон, так как возможно, что z R+.

4. Если Е1 = Е2 — множество свободных векторов в плоскости и если символ × определяет векторное произведение (прямое произведение) двух векторов, то имеем закон внешней композиции.

Группоид. Упорядоченная пара, которая состоит из множества Е и внутреннего закона композиции *, определенного на этом множестве всюду, называется группомдом и обозначается (Е, *).

Примеры.

1. Закон композиции, представленный на рис. 3.22, задает группоид.

Рис. 3.22

2. Примеры 1 и 2, которые приведены выше для иллюстрации понятия внутреннего закона композиции, определяют группоид.

3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное положительных целых чисел определяют внутренние законы композиции на множестве N0 положительных целых чисел. Если *1 обозначает наибольший общий делитель и *2 — наименьшее общее кратное, то (N0, *1) и (N0,*2) являются группоидами.

3.17. Закон нечеткой внутренней композиции. Нечеткий группоид

Рассмотренные понятия можно в обобщенном виде перенести на нечеткие подмножества следующим образом.

Пусть Е — универсальное множество и Е. Обозначим множество нечетких подмножеств множества Е через P (Е). Тогда можно записать P (Е). Мы уже видели, что если п = card Е и т = card М конечные, то и P (Е) конечно.