Дискретно-непрерывная математика (стр. 85 )

Пусть Мы должны доказать, что если

nGGM (s1) ≠ nGGM (s2), то Но

nGGM (s1) ≠ nGGM (s2)

тогда и только тогда, когда существует F класс J полугруппы S и элементы х1, х2 J, такие, что или 1) x1s1x2 J и x1s2x2 J, или 2) оба элемента x1s1x2 и x1s2x2 лежат в J и x1s1x2 ≠ x1s2x2. В первом случае, поскольку отображение φ есть F гомо­морфизм, мы имеем поэтому φ (s1) ≠ φ (s2).

Во втором случае x1s1x2H x1s2x2, поэтому

так как φ есть γ (H) гомоморфизм согласно пункту б) замечания 3.13. Следовательно, Пункты в) и г) вытекают из утверждения 3.7.

3.16. Замечание. Отметим, что если S — регулярная полугруппа, то и приведенная диаграмма коммутативна.

Это следует из того факта, что и из

способа, которым определялась полугруппа Sγ.

Следующее предложение будет очень важным при изучении материала микромодуля 10.

3.17. Предложение. Пусть S и Т1, ..., Тп — полу­группы, представляющие собой объединение групп, и α есть γ + F, R или L. Тогда если S ≤ ≤ Т1 × ... × Тп и θi : Ti→→Tαi, так, что θi = θ1 × ... × θ п :

Т1 × ... × Тп →→ Tα1 × ... × Tαn, то θ (S) = Sα и Sα ≤ ≤ Tα1 × ... × Tαn.

Доказательство. Ограничение θ на S будет α гомоморфизмом, по­скольку α гомоморфизм сохраняется при взятии прямого произведения и ограничения. Следовательно, θ (S) →→ Sα. С другой стороны, поло­жим pi : S→→ Ti, тогда Так как S→→ Ti, мы имеем

поэтому еслитоТеперь

)

Следовательно, поэтому

3.18. Лемма. а) Пусть для i = 1, 2 будет γ (соот­ветственно α') гомоморфизмом, где Тогда

будет γ (соответственно α') гомо­морфизмом.

б) Пусть Тогда S = {0}.

Доказательство, а) Доказательство утверждения для α' гомомор­физмов проводится легко. Пусть φi будет γ гомоморфизмом для i = 1, 2 и G — подгруппа в S1 × S2, такая, чтогде е =(e1, е2) — идемпотент в Т1 × Т2. Тогда —

комбинаторные подполугруппы полугрупп S1 и S2 соответственно, так как φi есть γ отображение и Следовательно, |G| = 1.

б) Если S = Sγ, то S = {0} или полугруппа S содержит ненуле­вые комбинаторные идеалы. Если I—комбинаторный идеал, то S →→S/I должно быть γ отображением. Следовательно, предполо­жим, что I является 0-минимальным идеалом полугруппы S. Тогда I — {0} будет регулярным F классом полугруппы S, порядок H клас­сов которого ≥2. Рассмотрим теперь на S отношение конгруэнтности, определяемое следующим образом:

тогда и только тогда, когда

Тогда гомоморфизм будет собственным α' гомоморфизмом для Это противоречит тому, чтоСледовательно, S = {0}.

Следующее предложение приводит к ослабленной форме теоремы 1.14. Мы включили его сюда потому, что метод доказательства, рассмотренный здесь, существенно отличается от метода, применявшегося для теоремы 1.14.

3.19. Предложение. Пустьи α будет одним из . Тогда где φ1, φ3, ... есть γ гомоморфизмы и φ2, φ4, ... есть α' гомоморфизмы.

Доказательство. Рассмотрим последовательность

(1)

Лемма 3.18 (пункт б) утверждает, что эта последовательность до­стигает {0}. Пусть отображение задается соотноше­ниемРассмотрим последовательность

(2)

где отображения на Т тождественные, а отображения на первом со­множителе задаются отображениями последовательности (1). То, что эти гомоморфизмы будут попеременно γ и α' гомоморфизмами, сле­дует из пункта а) леммы 3.18. Тогда ограничение последовательности (2) на образы полугруппы S даст

(3)

поскольку ограничение γ отображения есть γ отображение, а ограни­чение α' отображения есть α' отображение. Композицией гомомор­физмов последовательности (3) будет : S →→Т.

3.20. Следствие. Пустьбудет МРЕ. Тогда φ есть или γ гомоморфизм или H' гомоморфизм. [В действитель­ности мы знаем, что φ будет γ (H) гомоморфизмом или H гомоморфизмом.]

3.21. Определение. Пусть Предположим, что {Тi : i = 1, ..., п} есть множество всех таких полугрупп, чтои

где Определим полугруппу полагая

3.22. Утверждение. а) Отображениеесть γ гомомор­физм.

б) Пусть Т′ — произвольная полугруппа и

Тогда

Доказательство, а) Воспользуемся обозначением, принятым в оп­ределении, и введем oтображение

полагая По лемме 3.18 отображение θ будет γ

гомоморфизмом, поскольку им является каждое βi. Мы докажем, что тем самым будет установлена справедливость пункта а), так как ограничение γ гомоморфизма снова есть γ гомоморфизм. Любой элемент из имеет вид поэтому