Дискретно-непрерывная математика (стр. 20 )

х1+х2+...+хп=

и в мультипликативной записи

х1·х2·...·хп=.

Следует подчеркнуть, что здесь, в отличие от элементарной алгебры, знаки (+) и (• ) не обязательно означают сложение и умножение чисел. Они просто заменяют в различных соотношениях символы ┬ и ┴, указывая на то, что над элементами множества (не обязательно числами) выполняются некоторые операции. Эти операции могут лишь извне напоминать обычные операции сложения или умножение чисел, но по существу в общем случае — это другие операции. Удобство аддитивных и мультипликативных обозначений заключается в том, что при операциях над числами разлияные соотношения совпадают с общепринятой формой записи.

До сих пор рассматривались алгебры, т. е. множества, на которых заданы операции. Множества, на которых кроме операций заданы отношения, называются алгебраическими системами. Таким образом, алгебры можно считать частным случаем алгебраических систем (в которых множество отношений пусто). Другим частным случаем алгебраических систем являются модели — множества, на которых заданы только отношения. Понятие изоморфизма для алгебраических систем вводится аналогично тому, как это было сделано ранее для алгебр, с той разницей, что к условию

сохранения операций добавляется условие сохранения отношений при изоморфизме.

В таблице 1.16 приведены наиболее употребительные системы, где звездочка (*) показывает, что данный закон обладает отмеченными свойствами, и множество содержит относительно этого закона соответствующие элементы.

Таблица 1.16

Алгебраические системы (модели)

Название алгебра- ических систем	Первый закон (аддитивный)	Второй закон (мультипликативный)
Свойства	Элементы	Свойства	Элементы
Ассоци- атив- ность	Комму- татив- ность	Нейт- раль- ный	Симме- трич- ный	Ассоци- атив- ность	Комму- татив- ность	Нейт- раль- ный	Симме- трич- ный
Полу- группа (моноид)	*
Абелева (коммута- тивная) полу- группа	*	*
Полу- группа с нулем (единицей)	*		*
Абелева полу- группа с нулем (едини- цей)	*	*	*
Группа	*		*	*
Абелева (коммута- тивная) группа	*	*	*	*
Асоциа- тивное кольцо	*	*	*	*	*
Абелево (коммута- тивное) кольцо	*	*	*	*	*	*
Кольцо с едини- цей (унитар- ное кольцо)	*	*	*	*	*		*
Абелево кольцо с едини- цей	*	*	*	*	*	*	*
Тело	*	*	*	*	*		*	*
Поле (коммута- тивное тело)	*	*	*	*	*	*	*	*

Примечание: 1. Второй закон композиции (если он определен) является дистрибутивным слева и справа относительно первого закона.

2. Симметричные элементы относительно второго закона определены для всех элементов, кроме нейтрального относительно первого закона (нуля).

Так, группа — это наделенное ассоциативным законом множество, содержащее нейтральный элемент и симметризуемое относительно этого закона. Если, кроме того, закон композиции коммутативный, то группу называют абелевой (коммутативной).

Во всякой группе соотношения (уравнения) а┬х=b и y┬а=b

допускают единственное решение х = ┬ b (частное справа) и

у=b┬ (частное слева). Имеет место также соотношение

= ┬ или –(а+b)=-b-а (в аддитивной записи) и (в мультипликативной записи).

Кольцо — это множество, которое наделено двумя законами композиции: относительно первого (аддитивного) оно образует абелеву группу, а второй закон (мультипликативный) является ассоциативным, а также дистрибутивным относительно первого закона.

Телом называют кольцо с единицей, в котором каждый отличный от нуля элемент обладает симметричным относительно второго (мультипликативного) закона.

Поле — это коммутативное тело.

Изучение алгебраических систем позволяет выявить общие свойства операций на множестве объектов различной природы. Эти свойства используются при решении многих научных и технических задач. Из приведенных алгебраических систем наиболее широкими понятиями являются моноид и группа, а наиболее узкими - тело и поле. Последние обслуживают в основному числовые множества, в то время как более широкие понятия распространяются и на более далекие от чисел совокупности объектов.

Подсистемы. Всякую часть системы, которая снова является системой относительно тех же законов, называют подсистемой. В частности, всякая подгруппа должна содержать нейтральный элемент группы. Подкольцо образует подгруппу адитивной группы кольца и замкнуто относительно мультипликативного закона.

Подкольцо І абелева кольца К называется идеалом (в этом кольце), если І есть аддитивная подгруппа кольца (композиция любых элементов а и b из І относительно первого закона также принадлежат І, т. е. а + b І и а — b І), и в результате применения к элементу из I и любому элементу из К второго закона получаем элемент из І (т. е. для любых а І и х К имеет место а∙х І). Например, множество четных чисел есть идеал в кольце целых чисел, который рассматривается как аддитивная группа, а вторым законом является операция умножения (произведение четного числа на любое целое число дает четное число).

1.15. Примеры алгебраических систем

1. Кольцо многочленов. Рассмотрим множество многочленов (полиномов) от переменной х над числовым полем Р, т. е. выражение вида

f(x)=а0 + а1х + ... + апхп,

где п — целое неотрицательное число, а коэффициенты многочлена а0, а1, ..., ап — числа из поля Р (действительные или комплексные). Наибольшее число п, при котором ап ≠ 0, называется степенью многочлена и обозначается deg f (х). Два многочлена

f(x) =а0 + а1х+ ... + апхп

и

g(x) = b0 + b1x + ... + bmxm

тождественно равны, если п=m и аі= bi (i = 1, 2, ..., n).

Определим на множестве многочленов два внутренних закона - аддитивный и мультипликативный.

Сумма двух многочленов f(x)+g(x) — это многочлен, у которого коэффициент при каждой степени переменного х равен сумме коэффициентов многочленов f(x) и g(x) при той же степени х. Если степени п и т многочленов слагаемых не равны, то многочлен меньшей степени дополняется до старшей степени членами с нулевими коэффициентами. При этом

deg[f (x) + g(x) ≤ max[deg f (x), (deg g(x)].

Например:

f(x) = 2x3 + 3x2 — x + 6;

g(x) = x2 — 1;

f(x) + g(x)= 2х3 + 4x2 — x + 5.

Операция сложения многочленов ассоциативна и коммутативна. Нейтральным элементом относительно сложения является многочлен, все коэффициенты которого нули. Всякий многочлен f(x) обладает симметричным ему, все коэффициенты которого противоположны коэффициентам f(x), т. е. f(x)= —f(x). Следовательно, множество многочленов является абелевой группой относительно сложения.

Произведение двух многочленов определяется как многочлен f(x)g(x), который получают умножением каждого члена многочлена f(х) на каждый член многочлена g(x), суммированием полученных произведений и приведением подобных членов. Очевидно,

deg[f(x)g(x)] ≤ deg f (x) + deg g(x).

Например:

f(x) = х2 — 3х + 2;

g(x)= х2 + 2х — 3;

f(x)g(x) = х4 + 2х3 — 3х2 — 3х3 — 6х2 + 9х + 2х2 + 4х — 6 =