Дискретно-непрерывная математика (стр. 7 )

(а b) (а с) = а а = а;

(II) a (b с) =a b = а,

(a b) (a c)=a a = a;

(III) a (b с)=a c=a,

(а b) (а с)=b а = а;

(IV) а (b с)=а c = c,

(а b) (а с)=b c = c;

(V) a (b с)= а b = а,

(а b) (а с) = а c = а;

(VI) a (b с) = а b = b,

(а b) (а с)=b с = b.

Следовательно, дистрибутивна по отношению к .

Можно также показать, что дистрибутивна по отношению к , т. е. что

а (b с) = (а b) (а с).

Проверку этого свойства оставляем как упражнение.

Перед тем как закончить обсуждение общего случая, давайте возвратимся к табл. 1.11, определяющим и . Элементы, которые имеют одинаковые значения в таблицах, расположены относительно единичных элементов так, как показано на рис. 1.4.

Рис. 1.4.

На самом деле каждая из этих операций является «отображением» другой и связь, которая позволяет одну операцию менять на другую, определяется (в Z5) парами (0, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0). В сущности, это принцип двойственности, который будет обсуждаться в следующих разделах. Возвращаясь к Z2, имеем

	0 1
0 1	0 1 1 1

	0 1
0 1	0 0 0 1

В Z2 операцию обычно интерпретируют как или (результат равен 1, если один из операндов равен 1, включая случай, когда они оба равны 1). Аналогично читается как и. Число 0 является единичным элементом по отношению к или, число 1 является единичным элементом по отношению к и. Можно распространить эти результаты на более высокие размерности (переходя от Z2 к Zп2), расширяя компоненты и учитывая то, что не существует переноса из одной копии Z2 к другой.

Пример 2.

0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1

0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1

0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1.

Микромодуль 1.

Примеры решения задач

Рассмотрим пример перевода целых десятичних чисел в двоичные.

Перевод целых десятичних чисел в двоичнные выполняется

последовательным делением исходного числа и каждого частного на два. Получаемые при этом остатки (0 или 1), записанные в обратном порядке, и дают представление десятичного числа в двоичной системе счисления. Например:

Действительно, проверяя полученный результат, получаем

1• 24 + 1 • 23 + 0 • 22 + 1• 21 + 0• 20 = 16 + 8 + 2 = 26.

Дробное число переводится в двоичную систему счисления методом последовательного умножения на два. При этом каждый раз после запятой двоичного числа записывается 0 или 1 соответственно целой части результата умножения. Последовательное умножение продолжается до тех пор, пока дробная часть не обратится в нуль или пока не получим требуемое количество двоичных знаков после запятой. Например, двоичное представление числа 0,3125 получается следующим образом:

Проверка полученного результата дает:

0 • 2-1+1 • 2-2+ 0• 2-3+1• 2-4= = (1/4)+(1/16) = 5/16 = 0,3125.

Если число является смешанным, т. е. его целая и дробная части отличны от нуля, то оно переводится в двоичную систему раздельно: целая часть - последовательным делением, а дробная - последовательным умножением.

Арифметические операции над числами сводятся к операциям сложения и умножение одноразрядных чисел. В двоичной системе счисления умножения задается таблицей конъюнкции: 0•0=0; 1•0=0; 0 •1 = 0 и 1•1 = 1. Сложение выполняется по правилу: 0 + 0 = 0; 1+0= 1; 0+1=1 и 1+1=10 (10 - это двоичное число, соответствующее десятичному числу 2). Операции над двоичными числами выполняются по правилам, аналогичным для десятичных чисел, но эти правила предельно упрощаются (особенно для умножения). Например, десятичные операции 41+27=68 и 41 5=205 выглядят следующим образом:

Как видно, умножение двоичних чисел сводится к сложению чисел, образованных сдвигом влево первого сомножителя. Поразрядное сложение осуществляется в соответствии с таблицей

причем в случае х1= х2 = 1 образуется единица переноса в старший разряд.

Операция, задаваемая этой таблицей, называется сложением по модулю 2. Если при сложении перенос не учитывается, то эта операция вместе с операцией умножения определяет на множестве двоичных чисел арифметику по модулю 2.