Дискретно-непрерывная математика (стр. 51 )

4. Группа U всех скольжений прямой по самой себе есть инвариантная подгруппа индекса 2 в группе G всех самосовмещений прямой. Два класса, определяемые этой подгруппой, суть: сама группа U и класс всех самосовмещений второго рода.

5. Пусть G есть группа всех комплексных чисел (с операцией обычного сложения как групповой операцией). Пусть U — подгруппа всех действительных чисел. Классы, на которые распадается коммутативная группа G относительно своей подгруппы U, суть множества Кβ, каждое из которых состоит из всех комплексных чисел вида

х +іβ,

где х и β — действительные числа, β дано, а х пробегают все действительные значения. Если, как это обычно делается, изображать комплексные числа в виде точек плоскости (считая за изображение комплексного числа x+iy точку плоскости с координатами (х, у)), то каждый класс изобразится в виде прямой, параллельной действительной оси (т. е. оси абсцисс).

Микромодуль 6.

Идивидуальные тестовые задачи

1. Требуется доказать, что группа поворотов тетраэдра распадается на следующие классы сопряженных элементов:

1) класс, который состоит из одного нейтрального элемента;

2) класс, который состоит из поворотов на угол (2/3)π вокруг каждой из четырех осей, которые соединяют вершину тетраэдра с центром противоположной грани;

3) класс, который состоит из четырех поворотов на угол (4/3) π вокруг тех же осей (всюду по (или против) часовой стрелки, если смотреть из неподвижной вершины);

4) класс, который состоит из поворотов на угол π вокруг каждой из трех осей, которые соединяют середины двух противоположных ребер тетраэдра.

Исследовать классы сопряженных элементов в других группах поворотов.

2. Доказать следующую общую теорему: пересечение всех групп, которые входят в некоторый класс сопряженных между собой подгрупп, есть инвариантная подгруппа.

3. Доказать, что тождество (2.47) не выполняется ни при каком выборе нечетного числа симметрий.

4. Доказать, что множество всех поворотов в пространстве подгруппы не образует. (Указание: проверить, что композиция двух поворотов вокруг осей, которые не лежат в одной плоскости, представляет собой винтовое перемещение в собственном смысле слова; другими словами, в такую композицию входит нетождественный параллельный перенос.)

5. Доказать утверждение, что если перемещение F SO(3)А разложено в композицию F= , то Н SO(3)G(A) представляется в виде композиции H= , где прямые т1 и т2 проходят через точку G (А), причем угол между этими прямыми равен углу между прямыми l1 и l2.

Модуль 3

Алгебраическая теория полугрупп

Микромодуль 7

Полугруппы. Определения и примеры

3.1. Определения

Среди законов композиции, наиболее общими есть те, которые образуют полугруппы (моноиды), т. е. имеют единичный элемент и ассоциативны.

Известно, что в действительности важность теории моноидов или полугрупп проявляется там, где имеется связь с теорией информации, кодами, автоматами, системами команд и т. д.

В этом микромодуле мы вводим основные понятия теории полугрупп (моноидов), которые необходимы для дальнейшего изложения. Для понимания излагаемого материала не потребуется знаний никаких результатов теории полугрупп, кроме тех, которые будут приведены. Однако, читатель должен обладать необходимыми знаниями из элементарной теории групп.

Большая часть фактов, которые содержатся в приведенном материале — стандартный аппарат теории полугрупп, хотя само изложение, кое в чем отличается от общепринятого.

В основному нам придется иметь дело с конечными полугруппами и это позволит излагать результаты в виде, удобном читателю, который интересуется теорией полугрупп с точки зрения ее приложения, прежде всего, к теории автоматов.

1. Определение. Полугруппой называется упорядоченная пара (S, •). где символ S означает непустое множество, а точка — ассоциативную бинарную операцию, т. е. функцию (s1, s2)→s1• s2 из декартова произведения S×S в множество S, такую, что для любых элементов s1,s2,s3S выполняется соотношение (s1•s2)•s3=s1•(s2• s3). В дальнейшем вместо (S, •) будем сокращенно писать S, а вместо s1• s2 — s1s2.

Мощность множества S называется порядком полугруппы S, он обозначается как |S|. Предполагается, что все рассматриваемые в дальнейшем полугруппы имеют конечный порядок, если только не оговорено противное.

Элемент еS называется идемпотентом тогда и только тогда, когда е2=е; левой (правой) единицей его называют тогда и только тогда, когда для любого элемента s S es=s (se=S), а левым (правым) нулем тогда и только тогда, когда для любого элемента sS es=e (se=е). Если элемент е — левая, а элемент f — права единицы, то е=ef=f. Любая левая (права) единица или нуль представляют собой идемпотенты.

Элемент е S называется единицей тогда и только тогда, когда для любого элемента sS выполняются соотношение se=s=es; его называют нулем тогда и только тогда, когда для любого элемента s S выполняются соотношение se=е=es. Полугруппа S может обладать только одной единицей и только одним нулем, в самом деле, если е1 и е2 — две единицы (или два нуля), то е1=е1е2=e2. Нули и единицы будут обозначаться символами 0 и 1 соответственно.

Моноид — это полугруппа с единицей.

Группой называется моноид S, обладающий следующим свойством. Для каждого элемента sS существует элемент s-1S, называемый обратным для элемента s, такой, что ss-1=е=ss-1, где е— единица моноида S. Любой элемент моноида S может иметь только один обратный, так как если s1 и s2 — обратные элементы для s, то s1=s1ss2=s2.

Если для любых элементов s1, s2 S выполнено соотношение s1s2 = s2s1, то полугруппа будет коммутативной, или абелевой.

Пусть s1 ..., sn — элементы полугруппы S, по определению

s1s2 ... sп=s1(s2... (sn-1sn)...), тогда любое другое произведение, полученное в результате расстаноки скобок в конечной последовательности s1...sп, равно s1 ... sп. Кроме того, если S — коммутативная полугруппа, то для любой перестановки π индексов {1, ..., п} выполнено соотношение s1 ..,sn=sπ(1) ... sπ(n). Эти результаты, иногда называемые обобщенным ассоциативным и обобщенным коммутативным законами соответственно, могут быть доказаны индукцией по п.

Для любого элемента s полугруппы S определим степень элемента s следующим образом. Положим s1=s; тогда для целого числа п > 1 по определению sn = s1sn-1. Если S — группа с единицей е, положим s0 = е и для целого числа п > 0, пусть тогда s-n = (s-1)п, где s-1 — обратный для элемента s.

2. Определение. Пусть S-полугруппа. Тогда подмножество Т S называется подполуруппой для S, если Т≠ и если для любых элементов t1, t2 Т элемент t1t2 Т. Т будет подгруппой S, если Т — подполугруппа для S, а Т — группа. Т называется максимальной собственной подполуруппой для S, если Т≠S и если из условия ТVS , где V — подполугруппа для S, вытекает, что Т=V или V = S. Т будет максимальной подгруппой для S, если Т — подгруппа для S и если из условия ТVS, где V— подгруппа для S, вытекает, что Т=V.

Если X — непустое подмножество полугруппы S, то подполуруппу, порожденную множеством X, образует наименьшая подполугруппа в S, содержащая X, она обозначается как <Х>. Очевидно, что <Х> есть пересечение всех подполугрупп полугруппы S, содержащих множество X. Легко видеть, что пересечение подполугрупп некоторой полугруппы есть либо пустое множество, либо подполугруппа этой полугруппы. Множество всех конечных произведений х1х2 ... хп элементов из X совпадает с подполугруппой <Х>.