Дискретно-непрерывная математика (стр. 109 )

13. Следствие: теорема Риса — Сушкевича. Если S - компактная полугруппа и е Е К, то К изеоморфен (Se E) × eSe × (eS E) с умножением, определяемым соотношениям

(х, у, z) (х', у', z') = (х, yzx'y', z '), и К будет ретрактом S, как и К Е, eS Е, и eSe, и Se E.

Доказательство. По теореме 9 eS Se K, К Н, следовательно, Ме = S. К томуже по теореме 9, так как е К, имеем Le = Se и Re = e, поэтому согласно определению Н Не=eS Se. Так как е = е2, eS Se = eSe, и тогда в силу теоремы 12 получаем, что Ze=(Se E)×eSe ×(eS E). Ze имеет требуемое умножение и f|Ze является изеоморфизмом на (SeE) eSe(eSE), последнее множество равно К согласно следующим рассуждениям. Так как eS = eSeS = eSe2S, е(eS Е) = eS Е и (Se Е)е = Se Е, мы видим, что

(Se Е) eSe (eS E) =(Se E) (Se) (eS) (eS E) =(L E) LR (R E), где L , R . По теореме 9 (L E) L = L, R (R Е) = R и LR = К.

Отображение fg : S →К есть ретракция S на К и иfg: S → E К есть ретракция S на E К.

Рассматривая композиции g с проекциями на соответствующие сомножители Ze, получаем ретракции S на Se Е, eSe и eS Е.

14. Теорема (Щютценберже). Пусть S — компактная полугруппа,

Т = Т* и для элемента а S положим

Ра = {х S |хНа = На} и = {(x, y) Pа ×Pа | xa=ya} .

Если мощность множества На больше 1, то Ра будет замкнутой подполугруппой, - замкнутое отношение конгруэнтности на Ра и существует следующая коммутативная диаграмма:

где h — каноническая проекция, f (х) = ха, g — гомеоморфизм и — компактная группа. Если а2 = а, то f есть гомоморфизм и g будет изеоморфизмом. Независимо от того, верно или нет равенство а2 = а, существует единственная группа G, гомеоморфная Нb для каждого b Da и изеоморфная Нb, если Нb содержит идемпотент.

Приведем еще одну структурную теорему, которая представляет определенный интерес.

Для множества T S J называется максимальным собственным Т идеалом, если □≠J≠S,

Т1J Т1 J

и J есть максимальным по включению подмножеством полугруппы S, обладающим этими свойствами. Следующий результат, который принадлежит Уоллесу, обобщает на Т идеалы (в случае, когда Т2 Т) теорему о строении дополнения максимального собственного идеала. Было бы очень хорошо, если бы существовал аналог этой теоремы в случае, когда Т не является подполугруппой.

15. Теорема. Пусть S — компактная полугруппа и Т — ее замкнутая

подполугруппа. Пусть J — максимальный собственный Т идеал, положим А = S \ J. Допустим, что мощность множества А больше 1.

1) Если TST J, тo или S = J Ta и А = La для каждого элемента а А, или S = J aT и А = Ra для каждого элемента а А.

2) Если TST J, тo S = J TaT, Ja = A, La = Ta A и Ra=aT A для каждого а А.

3) Если Т А≠□, тo или T J — максимальный собственный идеал полугруппы Т, или Т — простая полугруппа.

Микромодуль 12.

Моноиды и регулярные события

В этом микромодуле представлен основной аппарат и связаные с ним понятия по применению монотдов и полугрупп для исследования свойств дискретных систем, как объектных, так и процессных. Мы начнем с того, что приведем определение полугруппы и моноида.

Полугруппой называется множество элементов S вместе с бинарной операцией произведения на этом множестве (произведение элементов а и b обозначается как ab), удовлетворяющей следующим условиям:

1) если a, b S, то ab S;

2) (ab) с = a (bс) для всех элементов a, b, c S.

Если в дополнение к этому в S имеется единица (или нейтральный элемент) е, такая, что

3) еа = ае = а для всех элементов a S, то S называется моноидом.

Раличие между моноидами и полугруппами тривиально и, казалось бы, можно не повторять, что они почти одинаковы. Однако для изучения событий такой объект, как моноид, более удобный, и дальше, как правило, мы будем иметь дело с моноидами, а не с полугруппами. Условимся о некоторых обозначениях для множества элементов моноида и для самого моноида. Так, когда мы говорим «пусть М — моноид», то одновременно М обозначает множество элементов этого моноида. Это общепринятая двусмысленность, которая никогда не причиняет неприятностей в работе.

Напомним, что согласно принятой терминологии группой называется такой моноид, каждый элемент которого имеет обратный а-1, т. е. а-1 — такой элемент, который а-1а = аа-1= е. Оказывается, важные результаты алгебраической теории систем связаны с рассмотрением подгрупп данного моноида, т. е. тех подмоноидов, которые представляют собой группы.

Множеством ∑* всех слов над алфавитом ∑ называется свободный моноид, единица которого (нейтральный элемент) есть пустое слово λ, а произведение слов моноида есть просто их последовательное приписывание. Очевидно, что эта операция ассоциативна.

Событием (или языком) над алфавитом ∑ мы будем называть любое подмножество из ∑*. Особый интерес представляют регулярные события — события, которве связанны с конечными автоматами и могут быть охарактеризованы с помощью гомоморфизмов ∑* на некоторые конечные моноиды.