Дискретно-непрерывная математика (стр. 40 )

Укажем некоторые менее тривиальные примеры.

1. Группа скольжений прямой самой по себе есть инвариантная подгруппа группы всех самосовмещений прямой.

2. Циклическая группа А порядка п, состоящая из всех самосовмещений первого рода п-угольного диэдра, есть инвариантная подгруппа группы всех поворотов п-угольного диэдра ( так как, если а - есть самосовмещения первого, а b — самосовмещение второго рода, то имеем (как было указано ранее) ab=bа-1, откуда b-1аb=а-1; так как это справедливо для любого элемента подгруппы А, то b-1Аb = А).

3. Знакопеременная группа Ап подстановок из п элементов есть инвариантная подгруппа группы Sn всех подстановок из п элементов. В самом деле, если b есть произвольная четная подстановка, а а есть любой элемент группы Sn (т. е. каждая подстановка - четная или нечетная), то подстановка а-1bа имеет в качестве знака произведение трех чисел, равных + 1 или — 1:

(зн а-1)∙ ( зн b)∙ (зн а).

Так как (зн а-1)=зн а, то (зн а-1)∙(зн а) в каждом случая (т. е. для любого а) равняется +1; следовательно,

(зн а-1bа) = (зн а-1) • (зн b) • (зн а) = (зн b) = + 1,

а это значит, что а-1bа есть четная подстановка, т. е. элемент группы Ап.

Итак, трансформация любого элемента b группы Ап есть элемент группы Ап (вообще говоря, отличный от а), т. е. Ап есть инвариантная подгруппа группы Sn.

Возвращаемся к примерам инвариантных и неинвариантных подгрупп.

Мы уже видели, что в группе всех поворотов тетраэдра есть одна собственная инвариантная подгруппа четвертого порядка. Так как группа всех поворотов тетраэдра изоморфна знакопеременной группе А4 подстановок из четырех элементов (т. е. группе всех четных подстановок из четырех элементов), то полученный результат можно сформулировать и так:

знакопеременная группа подстановок из четырех элементов имеет инвариантную подгруппу четвертого порядка.

Это обстоятельство заслуживает внимания: оказывается, при п>4 знакопеременная группа Ап подстановок из п элементов не содержит никакой инвариантной подгруппы (кроме двух несобственных подгрупп). Этот факт, имеет большое значение в алгебре: он тесно связан с тем, что общее уравнение степени п>4 не может быть разрешимо в радикалах.

Группа поворотов куба, как мы знаем, изоморфна группе S4. Значит, в ней имеется инвариантная подгруппа, изоморфная группе А4; эта группа нам уже знакома: она состоит из поворотов, переводящих в себя каждый из двух тетраэдров, вписанных в куб.

Мы уже упоминали также о трех подгруппах восьмого порядка, которые содержатся в группе самосовмещений куба. Эти три группы образуют класс сопряженных между собой групп; следовательно, ни одна из них не инвариантна. Зато инвариантной подгруппой является пересечения этих трех групп, которое, как мы знаем, представляет собой группу, которая состоит из нейтрального элемента и из трех поворотов куба на 180° вокруг каждой из трех прямых, соединяющих центры двух противоположных его граней.

Существует общая теорема: пересечение всех групп, входящих в некоторый класс сопраженных между собой подгрупп, есть инвариантная подгруппа.

Никаких инвариантных собственных подгрупп, кроме указанных групп двенадцатого и четвертого порядка, и группе самосовмещений куба не имеется.

Упомянем еще следующие классы сопряженных групп:

1. Класс, состоящий из трех циклических групп порядка 4 (каждая из этих групп состоит из поворотов вокруг одной из осей, которые соединяют центры двух противоположных граней куба).

2. Класс, состоящий из четырех циклических групп порядка 3 (каждая из этих групп состоит из поворота вокруг одной из диагоналей).

3. Класс, состоящий из шести циклических групп порядка 2 (каждая из этих групп состоит из поворота вокруг одной из осей, которые соединяют середины двух противоположных ребер).

Микромодуль 5.

Примеры решения типовых задач

Пример 1. В группе поворотов правильного тетраэдра есть, как мы видели, следующие подгруппы:

1. Две несобственные подгруппы: первая, состоящая из одного нейтрального элемента, и вторая, состоящая из всех двенадцати поворотов тетраэдра. Каждая из этих подгрупп, очевидно, сапряжена с самой собой.

2. Три подгруппы второго порядка: Н01, Н02, Н03, каждая из которых состоит из поворотов на углы 0 и π вокруг некоторой реберной медианы. Все эти группы образуют один класс сопряженных подгрупп.

3. Группа Н четвертого порядка (клейновская), являющаяся объединением (в смысле теории множеств) трех групп Н01, Н02, Н03 (т. е. состоящая из тождественного поворота и из поворотов на угол π вокруг каждой с трех реберных медиан). Из определения группы Н как объединения групп Н 01, Н 02, Н03 и из того, что группы Н 01, Н 02, Н03 образуют один класс сопряженных подгрупп, следует, что группа Н сопряжена лишь с самой собой.

4. Четыре подгруппы третьего порядка: Н0, Н1, Н2, Н3; каждая из них состоит из поворотов на углы 0, 2π/3, 4π/3 вокруг некоторой граневой медианы. Все эти группы также образуют один класс сопряженных подгрупп.

Итак, все 10 подгрупп группы поворотов правильного тетраэдра следующим образом распадаются на классы сопряженных подгрупп:

три класса, состоящие каждый из одного элемента:

классы, содержащие лишь по одной несобственной подгруппе, и

класс, состоящий из одной подгруппы Н четвертого порядка;

класс, состоящий из трех подгрупп второго порядка;

класс, состоящий из четырех подгрупп третьего порядка.

Пример 2. Тривиальными примерами инвариантных подгрупп являются обе несобственные подгруппы любой группы. Кроме того, любая подгруппа коммутативной группы является, очевидно, инвариантной.

Укажем некоторые менее тривиальные примеры.

1. Группа скольжений прямой самой по себе есть инвариантная подгруппа группы всех самосовмещений прямой.

2. Циклическая группа А порядка п, состоящая из всех самосовмещений первого рода п-угольного диэдра, есть инвариантная подгруппа группы всех поворотов п-угольного диэдра ( так как, если а - есть самосовмещения первого, а b — самосовмещение второго рода, то имеем (как было указано ранее) ab=bа-1, откуда b-1аb=а-1; так как это справедливо для любого элемента подгруппы А, то b-1Аb = А).

3. Знакопеременная группа Ап подстановок из п элементов есть инвариантная подгруппа группы Sn всех подстановок из п элементов. В самом деле, если b есть произвольная четная подстановка, а а есть любой элемент группы Sn (т. е. каждая подстановка - четная или нечетная), то подстановка а-1bа имеет в качестве знака произведение трех чисел, равных + 1 или — 1:

(зн а-1)∙ ( зн b)∙ (зн а).

Так как (зн а-1)=зн а, то (зн а-1)∙(зн а) в каждом случая (т. е. для любого а) равняется +1; следовательно,

(зн а-1bа) = (зн а-1) • (зн b) • (зн а) = (зн b) = + 1,

а это значит, что а-1bа есть четная подстановка, т. е. элемент группы Ап.

Итак, трансформация любого элемента b группы Ап есть элемент группы Ап (вообще говоря, отличный от а), т. е. Ап есть инвариантная подгруппа группы Sn.

Микромодуль 5.

Индивидуальные тестовые задачи

1. Взять два каких-нибудь определенных самосовмещения первого и второго рода и построить их произведение для одного и другого порядка сомножителей.

2. Доказть геометрически, а именно: показать, что каждый поворот тетраэдра может быть получен умножениям соответствующей пары поворотов.

3. Доказать следующую общую теорему: некоторое множество Е элементов группы G тогда и только тогда является системой образующих этой группы, когда не существует никакой собственной подгруппы группы G, которая содержала бы все элементы множества Э.

Пользуясь этой теоремой, найти все системы образующих группы поворотов тетраэдра (состоящие не более чем из трех элементов каждая).

4. Требуется доказать, что группа поворотов тетраэдра распадается на следующие классы сопряженных элементов:

1) класс, состоящий из одного нейтрального элемента;

2) класс, состоящий из поворотов на угол (2/3)π вокруг каждой из четырех осей, которые соединяют вершину тетраэдра с центром противоположной грани;

3) класс, состоящий из четырех поворотов на угол (4/3)π вокруг тех же осей (всюду по (или против) часовой стрелки, если смотреть из неподвижной вершины);

4) класс, состоящий из поворотов на угол π вокруг каждой из трех осей, которые соединяют середины двух противоположных ребер тетраэдра.

Исследовать классы сопряженных элементов в других группах поворотов.

5. Доказать следующую общую теорему: пересечение всех групп, которые входят в некоторый класс сопряженных между собой подгрупп, есть инвариантная подгруппа.

Микромодуль 6.

Гомоморфные отображения и группы перемещений

2.7. Гомоморфные отображения

2.7.1. Определение гомоморфнго отображения и его ядра

Пусть каждому элементу а группы А поставлен в соответствие элемент

b= f(a)

группы В. Совокупность всех полученных таким образом элементов b=f(a) группы В обозначим через f(A). Мы говорим, что имеем

отображение f группы А в группу В, а именно: на множество f(A) B.

Введем теперь следующее фундаментальное определение.

Отображение f группы А в группу В называется гомоморфным, если для любых двух элементов а1 и а2 группы А выполнено условие