Дискретно-непрерывная математика (стр. 103 )

Pис. 3.8

Следует, конечно, проверить непрерывность умножения для каждого i на Tі Ti+1, а также ассоциативность умножения в Т′. Это умножение не было бы непрерывным, если бы начало спирали полугруппы Tі находилось бы в единице круга Di+1, а не в его нуле. Заметим, что Т′ строится из однотипных спиралей по аналогии с тем, как І полугруппы строятся с единичных, ниль - и мин-нитей (см. теорему 1 и определение 4). Заметим также, что в каждой окрестности точки и имеются невырожденные связные группы (границы кругов Dі при достаточно большом i), и интуитивно ясно, что их наличие препятствует построению дуги, которая выходит из и. Это действительно так и следует из теоремы, которая принадлежит Коху.

Теорема 3. Если S есть бинг, в котором каждая подгруппа вполне несвязна, то для каждого идемпотента eS\K (S) существует подполугруппа І в S, которая содержит е в качестве единицы, пересекает К (S) и является І полугруппой.

Основным инструментом, которым пользовался Кох в доказательстве этой теоремы, была теорема Мостерта-Шайлдза об однопараметрической полугруппе (см. теорему 2).

Определение 4. Неприводимой полугруппой называется клан Т, в котором нет собственного континуального подмножества, содержащего единицу полугруппы Т, пересекающего К (Т) и являющегося также подполугруппой.

Возможная ситуация, когда неприводимая полугруппа не будет

топологически неприводимым пространством, для ее единицы и минимального идеала, т. е. может существовать собственное континуальное подмножество, которое соединяет единицу и минимальный идеал, хотя соединяющей их собственной континуальной подгруппы нет. Например, S, Т и Т' в примерах 2 — неприводимые полугруппы, но Т и Т' тем не менее не является топологически неприводимыми. Смысл этого различия стал ясен довольно давно, была выдвинута гипотеза, что неприводимые полугруппы должны быть абелевыми. После многочисленных попыток доказать справедливость этого предположения Кох и Уоллес показали, что топологически неприводимый клан является абелевым. И только Хофманн и Мостерт сумели доказать, что неприводимая полугруппа абелева, их доказательство не элементарно. Формулировка основной теоремы приводится далее.

Пример полугруппы Т' в примерах 2(3) показывает, что неприводимые полугруппы могут быть значительно более сложными, чем нити или просто одна спираль; в действительности, они строятся из базисных блоков (которые Хофманн и Мостерт назвали цилиндрическими полугруппами), вводимых вместе способом, более сложным, но похожим на способ, которым І полугруппы строятся из единичных ниль - и мин-нитей.

Строение неприводимых полугрупп имеет особое значение, так как большинство бингов содержит их согласно следующему результату.

Лемма 2. Если S — бинг и eS\K(S), то S содержит неприводимую полугруппу, которая пересекает К( S) и имеет единицей элемент е.

Доказательство этой леммы простое. Заметим, что {eSe} есть семейство кланов, которые содержат е и пересекают К(S). Это семейство линейно упорядочено по включению (семейство имеет только один член). По лемме Цорна такое семейство имеет максимальный элемент и тогда его пересечение — неприводимая полугруппа, что и требовалось доказать.

Следующая теорема — центральный аспект в исследовании Хофманна и Мостерта о неприводимых полугруппах.

Теорема 4. Неприводимая полугруппа будет абелевой и неприводимые полугруппы представляют собой кланы, для которых S/Н обладает естественным строением І полугруппы, где Н - отношение эквивалентности на S, которое определяется соотношением

Отношение Н, определенное здесь, есть одно из отношений Грина на S (см. п. 3.10) и согласно определению 3 максимальная подгруппа Н(е), содержащая элемент е, является Н классом для е. S/Н есть пространство, получаемое в результате отождествления точек в каждом Н классе и, в частности, при этом подгруппы из S стягиваются в точки, поэтому S/Н не содержит невырожденных связных групп.

Рассмотрим, например, единичную спираль S из примеров 2 (1). Н классом каждого элемента x S\(0 × С) будет сам х и единственным другим Н классом будет базисная окружность. Следовательно, S/Н есть S, у которой базисная окружность стянута в точку. Очевидно, что мы получили дугу. Аналогично для Т из примеров 2 (2): Н классами являются множества, которые были описаны раньше, кроме того, каждая окружность в круге 0 × D радиуса r, 0 ≤ r ≤ 1, с центром в (0, 0) тоже будет Н классом (см. рис. 3.9).

Рис. 3.9

Ясно, что отношение Н можно определить для любой полугруппы S и оно будет отношением эквивалентности, так что пространство S/Н определено корректно, и если S — компактная, то S/Н — хаусдорфово пространство (можно пользоваться несколько более слабыми условиями, чем компактность, чтобы пространство S/Н было хаусдорфовым). Однако в общем случае S/Н не обладает естественной структурой полугруппы, т. е. произведение (в S) двух Н классов может не содержаться в другом Н классе. Это можно выразить, сказав, что Н может не быть отношением конгруэнтности (относительно формального определения см. теорему 6). Если полугруппа S нормальна, т. е. xS = Sx для каждого xS, то S/Н будет обладать естественной структурой полугруппы. Очевидно, если S — абелева, то S нормальна, и это одна из причин, по которой очень важно знать, является ли полугруппа абелевой. Например, в 1960 г. Хантер доказал, что если S - нормальная неприводимая полугруппа, то S/Н будет І полугруппой. Но это не было известно для произвольных неприводимых полугрупп, пока Мостерт и Хофманн не доказали их абелевость.

3.13. Построение новых полугрупп

Определение произведения полугрупп (см. определение 3) представляет один из основных способов построения новых полугрупп из имеющихся. Другая основополагающая идея состоит в замене части заданной полугруппы на что-то другое. Этот метод описан в определении 5 и в пункте ”Склеивание Барсука”, посвященном методу склеивания.

5. Определение фактор-полугруппы Риса. Пусть S — компактная полугруппа и І — замкнутый идеал. Пусть S/І обозначает обычное фактор-пространство, получаемое в результате отождествления всех точек из І, а ф: S→S/I - каноническое отображение. Тогда S/I есть полугруппа с умножением, определяемым равенством ф(х) ф(у)=ф(ху), такая фактор-полугруппа называется фактор-полугруппой Риса.

Поскольку I — идеал, умножение в S/I определено корректно. Компактность S и замкнутость I применяются для доказательства непрерывности умножения и хаусдорфовости пространства S/I (см. теорему 6).

3. Примеры фактор-полугрупп Риса 1) Ниль-нитка является фактор-полугруппой Риса единичной нити. Действительно, из пункта 2 определения 1 видно, что ниль-нитка есть [0, 1] / [0,1/2], где в [0,1] рассматривается обычное умножение действительных чисел.

2) Несвязная полугруппа может быть преобразована в связную, если существует замкнутый идеал, который пересекает все ее компоненты. Пусть, например, W— конечная полугруппа с п элементами и I =[0, 1] — обычный единичный отрезок. Тогда W×I — компактная полугруппа с п компонентами; множество W × 0 будет замкнутым идеалом, который пересекает все компоненты, поэтому W × I/W × 0 будет связным веером. На рис. 3.10 изображен случай для п = 2.

Рис. 3.10

3) Пусть S1— полугруппа на одномерной сфере, а I = [0, 1] будет I полугруппа. Обозначим через Т = S1 × I произведение полугрупп. Очевидно Т представляет собой пустой цилиндр. Множество Ir = S1 × [0, r] является идеалом полугруппы Т для r [0, 1) и фактор-полугруппа Риса Т/Ir топологически есть 2-клетка, граничная сфера которой будет подполугруппой (см. рис. 3.11).

Рис. 3.11

Описанная в пункте 3 ситуация подлается обобщению, если вместо S1 рассмотреть Sn-1, где п≥ 2. Мы получим строение полугруппы на п клетке, которая содержит граничную (п—1) сферу как полугруппу. Существует теорема, которая приналежит Мостерту и Шайлдзу, из которой следует, что клан на n-клетке с нулем, граница которой есть подполугруппа, должен быть фактор-полугруппой Риса цилиндра. Эта теорема приводится далее. Она является более общей, поскольку формулируется для L полугрупп. По определению L полугруппой называется клан на компактной поверхности, такой, что граница этой поверхности есть подбинг. Для доказательства теоремы о L полугруппах Мостерт и Шайлдз дополнили работу Фосе об I полугруппах и доказали первый вариант своей теоремы об однопараметрической полугруппе. Оба эти результата были упомянуты ранее.