Дискретно-непрерывная математика (стр. 8 )

Микромодуль 1.

Индивидуальные тестовые задачи

1. Рассмотреть указанные ниже «определения». Решить, правильно, или нет каждое из них определяет бинарную операцию, и если так, то является ли операция коммутативной. Найти, если это возможно, единицу и обратный элемент к х. Предполагаются выполненными обычные свойства арифметики:

а) х у= х-у на N;

б) х у = (х у) — 1 на Z;

в) х у = max (x, у) на N;

г) х у = на {х: 0 ≤ х, х R};

д) х у = х/у на {х: 0< х, х R}.

2. Определим операцию φ на множестве {а, b, с}, как указано ниже. Проверить, что φ ассоциативна и коммутативна и найти единичный элемент.

φ	а b c
a с b	b c a a b c c a b

3. Предполагая обычные свойства операций +, -, и / на R, доказать, что операция ψ, определенная на [1, ∞[ следующим образом:

аψb= ,

ассоциативна. Обосновать ответ.

Указание: не следует особенно обращать увагy на область определения.

4. Пусть — ассоциативная операция на множестве А с единицей е такая, что каждый элемент аА может быть обратным и обратный обозначается через а'. Показать, что

(а b)' = b' а'.

5. Показать, что если — ассоциативная операция на множестве А с единицей е такая, что а а = е для каждого а А, то коммутативна.

6. Пусть — ассоциативная операция на множестве А такая, что для любых a, b А, если a b=b a, то а = b. Показать, что каждый элемент А идемпотентен по отнощению к . Что можно сказать про , если операция имеет единицу?

7. По аналогии с «естественной» арифметикой, полученной для Z6, построить аналогичную арифметику для Z16, используя символы {0, 1, ,.., 9, А, B, ..., F}.

8. Построить арифметику для Z6, которая согласуется со строкой

+ | 0 1 2 3 4 5

2 | 2 3 4 0 5 1

9. Рассматривая 1+3, показать, что следующая таблица приводит к противоречию:

+ | 0 1 2 3 4 5

0 | 0 1 2 3 4 5

1 | 1 0 3 4 5 2

10. Обозначим Z-m×Zп-1m через Zп-m, где

Z-m = {— (m/2), .,., 0, ..., (m/2) — 1}, если m четное,

и

Z-m = {— (m-1/2), .,., 0, ..., (m-1/2)}, если т нечетное.

Вычислить: а) 10-7; б) 17-23; в) (-8)+(-21) в каждой из «естественных» арифметик Z4-7 , Z3-10 , Z5-5 , Z2-12.

Замечание: числа в примерах заданы над Z; поэтому вначале требуется перевести их в соответствующую систему, а потом проводить вычисления.

11. Быстрый способ вычисления дополнения до 2 от данного битового элемента в Zп-2 заключается в следующем. Начиная из правого конца, копируем все идущие подряд нули и первую встретившуюся единицу. Затем все оставшиеся биты изменяем. Показать, что этот способ работает в большинстве случаев, и рассмотреть случаи, когда он не работает.

12. Пусть в Z5-2 производятся следующие вычисления. Складывают два числа х и у (обозначим их сумму через z). Если от z отнять у, то получим некоторый результат с, а если от z отнять с, то получим некоторое число d. Что можно сказать о с и d? Как отличаются результаты, если вычисления производятся в Zп-2?

13. Переведите в двоичную систему счисления десятичные числа:

а) 51; б) 64; в) 125; г) 1000.

14. Выполните в двоичной системе следующие операции над десятичними числами:

а) 21 + 37; б) 31 + 105; в) 25 8; г) (8 + 19)11; д) 24 8 - 17. Проверьте полученные результаты в десятичной системе.

15. Переведите в двоичную систему счисления с точностью до пяти двоичных знаков после запятой числа: а) 0,131; б) 0,25; в) 175,26.

16. Дайте обоснование правил перевода десятичных чисел в двоичные.

17. Сложите двоичные числа 11001110 и 11010111 по обычному правилу и по модулю два. Найдите разность полученных результатов и объясните ее смысл.

18. Определяя операции и как минимум и максимум, показать для произвольного Zn, что

a (b c)=(a b) (a c).

Микромодуль 2.

Арифметика с нечеткими числами

1.6. Нечеткие числа и функции

1.6.1. Нечеткая и лингвистическая переменные.

Нечеткая переменная определяется кортежем <Х, U, >, где X— наименование нечеткой переменной; U={и} - область ее определения, или универсальное множество;

— нечеткое множество на U описывающее ограничение на возможные числовые значения нечеткой переменной X.

Лингвистическая переменная определяется кортежем

<β, Т, U, G, М>,

где β — наименование лингвистической переменной; Т — множество ее значений, или термов, представляющих собой наименование нечетких переменных, областью определения каждой из которых есть множество U. Например, для лингвистической переменной, которая представлена на рис. 1.5,

T={T1, T2, T3}, u0<и2<и1<и4 <и4 <и+, U=[u0, u+].

Рис. 1.5. Взаимосвязь лингвистической и нечеткой переменных

Пары точек (u0, u+) будем называть предельной парой. В дальнейшем без особой необходимости не будем различать переменную и ее наименование.

Множество Т будем называть базовым терм-множеством лингвистической переменной; G — синтаксическая процедура, которая описывает процесс образования из множества Т новых, осмысленных для данной задачи принятия решений значений лингвистической переменной. Множество Т*=T G(T) назовем расширенным терм-множеством лингвистической переменной; М — семантическая процедура, позволяющая приписать каждому новому значению, образуемому процедурой G, некоторую семантику путем формирования соответствующего нечеткого множества, т. е. отобразить новое значение в нечеткую переменную.

Рассмотрим пример лингвистической переменной. Пусть оценивается посадочная скорость летательных аппаратов с помощью понятий «малая», «небольшая», «средняя», «высокая». При этом максимальная посадочная скорость равна 300 км/ч. Формализация такого описания может быть проведена с помощью лингвистической переменной <СКОРОСТЬ, {МАЛАЯ, НЕБОЛЬШАЯ, СРЕДНЯЯ, ВЫСОКАЯ}, [0, 300], G, М>, где G — процедура перебора элементов базового терм-множества, М — процедура экспертного опроса.