Дискретно-непрерывная математика (стр. 55 )

И наоборот, если SaS = S для 0 ≠ а S, обозначим через І ненулевой идеал полугруппы S, причем пусть 0 ≠ а І. Тогда S = SaS SIS І, следовательно, S = І, т. е. полугруппа S 0-простая.

в) Пусть І — минимальный идеал полугруппы S. Тогда І — простая полугруппа. В частности, К (S) — простая полугруппа.

г) Пусть І — 0-минимальный идеал полугруппы S. Тогда І — или полугруппа с нулевым умножением, или 0-простая полугруппа.

Доказательство. Пусть І — 0-минимальный идеал полугруппы S. Если І2 = {0}, то І — полугруппа с нулевым умножением. Если І2≠ {0}, то І2 = I, так как І2 — ненулевой идеал полугруппы S, содержащийся в І. Следовательно, Іп = І для любого п > 0. Пусть 0≠а І. Тогда S1aS1 — ненулевой идеал полугруппы S, содержащийся в идеале І, следовательно, он равен І. Таким образом, ІaІ=(IS1)a(S1І)=I3=І и поэтому І — 0-простая полутрупа в силу б.

Замечание. 0-минимальный левый идеал или правый идеал 0-простой подгруппы не обязательно будет 0-простым. Рассмотрим, например, полугруппу S = S22({1}, І), где І — 2×2 единичная матрица (см. пример 9). Тогда L = {(1)11, (1)21, 0} — 0-минимальный левый идеал полугруппы S и {(1)21, 0} — идеал для L. Заметим, что L2 ≠ {0}.

Будем говорить, что подполугруппа Т полугруппы S расщепляет S тогда и только тогда, когда S—Т — подполугруппа для S. Предыдущий пример показывает, что {0} не обязательно расщепляет в случае 0-простой полугруппы. Однако, если полугруппа S 0-простая слева или 0-простая справа, легко проверить, что {0} расщепляет S и S =Т0, где Т - соответственно простая слева или простая справа полугруппа.

Утверждение 2. Пусть заданы полугруппы S1 и S2 и дано отображения φ : S1 →→ S2, представляющее собой эпиморфизм.

а) Пусть S1 — подполугруппа, подгруппа, идеал, левый идеал, правый идеал, простая подполугруппа, простая слева подполугруппа, простая справа подполугруппа, минимальный идеал, минимальный левый идеал, минимальный правый идеал, ядро или подполугруппа с нулевым умножением в полугруппе S1. Тогда множество φ(S′1) обладает тем же свойством в полугруппе S2. Если S′1 — 0-минимальный идеал (следовательно, и 0-простой), то φ (S′1) = {0} или φ (S′1) является 0-минимальным идеалом (следовательно, и 0-простым). Если е— единица (соответственно нуль) полугруппы S1, то φ (е) — единица (соответственно нуль) полугруппы S2.

б) Пусть S'2 — подполугруппа, идеал, левый идеал или правый идеал полугруппы S2. Тогда φ-1(S′2) обладает таким же свойство в полугруппе S1. Отображение Т→φ-1(Т) является взаимно однозначным, «сохраняющим включение» отображением множеств левых, правых и двусторонних идеалов полугруппы S′2 в соответствующие множества полугруппы S1.

в) Пусть S′2— простая, простая справа, простая слева или простая слева и справа (т. е. группа) подполугруппа в S2. Тогда существует подполугруппа S′1 в S1, обладающая таким же свойством, что и подполугруппа S′2, причем выполнено соотношения φ(S′1)=S′2. В действительности в качестве полугруппы S′1 может быть выбрана любая минимальная по включению подполугруппа Т S1, обладающая свойством φ(Т) = S'2.

В заключение микромодуля докажем несколько основополагающих утверждений о полугруппах.

Утверждение 3 (классификация циклических полугрупп). Пусть S = <s> — циклическая полугруппа, порожденная элементом s S. Тогда или

1) S (Z+,+), причем изоморфизм задается отображением п→sп, или

2) S представляет собой конечную полугруппу и существуют два единственных положительных целых числа r и т индекс и период полугруппы S, такие, что S={s, s2, ..., sm+r-1}. Множество Ks = {sr, ..., sm+r-1} — циклическая подгруппа порядка т полугруппы S.

Для любых двух заведомо заданных целых чисел r и т можно построить единствнную (с точностью до изоморфизма) конечную циклическую полугруппу индекса r и периода т.

Доказательство. Если все степени элемента s различны между собой, то, очевидно, справедлив первый случай. Если это не так, обозначим через r наименьшее целое положительное число, такое, что sr=sr+x при некоторому положительном целом х. Пусть т — наименьшее такое х. Тогда элементы s, s2, ..., sr различны и не равны элементам sr+1, ..., sr+m-1. Если k ≥ m, то sr+k=sr+jm+n=sr+n, где 0≤n<m. Следовательно, S = {s, s2, ..., sr+m-1}. Наконец, отображение

sr+р→ (r + p) (mod m) — изоморфизм множества {sr, ..., sr+m-1} с группой (Zm, +), следовательно, имеет место случай 2.

Пусть r и т заданы, рассмотрим f FL ({0,..., r + т—1}), определяемую соотношениями f (i) = і + l для i= 0,1, ... , r+т—2 и f (r + m—1) =r. Тогда <f> F({0, .., r+ т—1}) имеет индекс r и период т. Утверждение о единственности очевидно.

Полугруппа S называется периодической, если для любого элемента s S справедливо неравенство | <s> | < ∞. Периодическая группа - это периодическая полугруппа, являющаяся группой. Каждая конечная полугруппа представляет собой периодическую полугруппу. Хотя в этой работе мы будем иметь дело только с конечными полугруппами, доказательства некоторых важных утверждений справедливы для более широкого класса периодических полугрупп.

Выведем некоторые полезные следствия из утверждения 3.

Утверждение 4. а) Пусть S — периодическая полугруппа и элемент s S. Тогда среди всевозможных степеней элемента s существует единственный идемпотент.

б) Полугруппа G - периодическая группа тогда и только тогда, когда каждая подполугруппа в G является подгруппой в G. В частности, подполугруппы конечных групп представляют собой подгруппы.

Доказательство, а) Единица циклической подгруппы полугруппы <s> — единственный идемпотент.

б) Если G не является периодической группой, то она содержит циклическую полугруппу, изоморфную полугруппе (Z+, +), которая не может быть группой. Следовательно, если множество S есть подполугруппа периодической группы G, обозначим через r и т индекс и период соответственно элемента s S. Тогда srsm = sr и поэтому 1=smS. Если т — 1, то s-1=sS, а если т > 1, то s-1= sm-1 S. Следовательно, полугруппа является группой.

Утверждение 5. Пусть S1 — периодическая полугруппа, а отображение φ:S1→→S2 — эпиморфизм. Тогда S2 - периодическая полугруппа, а отображение φ отображает Е(S1) на Е(S2) и сохраняет введенное в этих множествах отношение упорядоченности (см. пример 14).

Доказательство. Если s Sl, то φ(<s>)=<φ(s)>, следовательно, полугруппа S2 периодическая. Очевидно, φ[Е (S1] s (S2). И наоборот, если е Е(S2), выберем х S1 такой, что φ(х)=е, и обозначим через f единственный идемпотент, такой, что хп = f при некотором п. Тогда φ (f) = еп = е, следовательно, φ [Е (S1)] = E (S2). Наконец, если е1е2 = е1 = е2е1, тo φ(е1)φ(е2)=φ(е1)=φ(е2)φ(е1), поэтому отображение сохраняет отношение упорядоченности.

Микромодуль 7.

Примеры решения типовых задач

1. Пусть S — полугруппа, обладающая следующим свойством. Существует элемент х S, что «делит» каждый элемент полугруппы S, т. е. для каждого элемента s S найдутся элементы l, r S, такие, что lx = s = xr. Тогда S — моноид.

2. а) Пусть ψ : А →S — отображение множества А в полугруппу S. Тогда ψ можно единственным образом продолжить до гомоморфизма ψГ: ∑А → S, причем ψГ (∑А) = < ψ(А)>.

б) Пусть Т — некоторая полугруппа вида Т = < А > и такая, что для любой полугруппы S и любого отображения θ: А → S существует единственное продолжение θ док гомоморфизма θГ: Т → S. Тогда полугруппа Т изоморфна полугруппе ∑A, а отображение, осуществляющее этот изоморфизм, фиксированно на множестве А.