Дискретно-непрерывная математика (стр. 116 )

то говорят, что закон ассоциативный; говорят также, что группоид ассоциативен.

Так, группоид на рис. 3.25 ассоциативен, а на рис. 3.24 - нет. Можем это проверить, например, для группоида на рис. 3.25, используя сокращенное обозначение

((1/2, 1/2) (1, 0)) (1/2, 1) = (1/2, 0) (1/2, 1) = (1/2, 0),

(1/2, 1/2) ( (1, 0) (1/2, 1)) = (1/2, 1/2) (1/2, 0) = (1/2, 0).

Исходя из данного определения закона для нечетких подмножеств, можно заключить, что если

( (х) (х)) ( (х) = (х) ( (х) (x)),

это из ассоциативности для следует ассоциативность для * и наоборот.

Единичный элемент. В теории обычных множеств для рассматриваемого закона * выделяют особый элемент е Е, если он существует, такой, что

а Е : е * а = а.

Этот элемент называют левой единицей. Аналогично элемент

е' Е, если он существует, такой, что

a E:a*e' = a,

называется правой единицей.

Элемент, который есть одновременно и левой и правой единицей, называется единицей.

Если единичный элемент существует, то он единственный. Действительно, если бы существовал другой такой элемент ε, то мы имели бы

ε * е = е * ε = ε = е.

Аналогично можно определить единичный элемент в нечетком группоиде. Покажем сначала на примере, что это действительно возможно, а затем перейдем к общему определению. Рассмотрим пример на рис. 3.25. Очевидно, что элемент (1,1) будет одновременно как левой, так и правой единицей, т. е. просто единицей. Действительно, х {0, 1/2, 1} и у {0, 1/2, 1},

(1, 1) (х, у) = (х, у) (1, 1) = (х, у).

Будем говорить, что нечеткий группоид с законом композиции * обладает левой единицей , если

E: * = , (3.25)

и правой единицей ', если

E: * ' = , (3.26)

и обладает единицей , если

Е: * = * = . (3.27)

В примере на рис. 3.25 представлен случай, когда нечеткий группоид обладает единицей. Теперь рассмотрим другой случай, когда нечеткий группоид не обладает единицей. Такая ситуация возникает в примере, рассматриваемом в (3.15)-(3.23). С помощью элемента невозможно генерировать ни четкое подмножество, обладающее свойством (3.27), ни нечеткое подмножество, обладающее свойством (3.25) или (3.26).

Обратные элементы. Напомним, что понимается под обратным элементом в теории обычных множеств.

Рассмотрим закон, для которого существует единичный элемент е. Теперь пусть а и - два элемента. Если

*а = е,

то говорят, что элемент есть левый обратный элемент для а. Аналогично, если

а* ' = е,

то говорят, что ' есть правый обратный элемент для а. Наконец, если

' = а, то

*а = а* = е,

и говорят, что есть обратный элемент для а.

В нечетком группоиде для каждого элемента можно попытаться определить обратный.

Обратимся опять к примеру на рис. 3.25. Мы уже видели, что здесь существует единица, а именно пара (1, 1). Очевидно, что имеется только один элемент, который в композиции с самим собой дает (1, 1); это элемент (1, 1).

Для всех остальных элементов, таких, что (а, b) (1, 1) и

(а', b') (1, 1), имеем

(а, b) (а', b') (1, 1).

Следовательно, в группоиде на рис. 3.25 каждый элемент не имеет обратного.

В более общем случае, когда в качестве закона * используется или , обратный элемент не существует.

В случае существует единица, определямая условием х Е, (х)=0; в случае существует единица, определямая условием х Е, (х)=1. Но ни в одном из этих случаев, независимо от того, каково нечеткое подмножество , нельзя определить обратный элемент. Известно, что

(условие х Е: (х)=0 ( = ),

(условие х Е: (х)=1 ( = Е).